題目：

我們正在玩一個猜數遊戲，遊戲規則如下：

我從1到 n 之間選擇一個數字，你來猜我選了哪個數字。

每次你猜錯了，我都會告訴你，我選的數字比你的大了或者小了。

然而，當你猜了數字 x 並且猜錯了的時候，你需要支付金額為 x 的現金。直到你猜到我選的數字，你才算贏得了這個遊戲。

例如：

n = 10, 我選擇了8.

第一輪: 你猜我選擇的數字是5，我會告訴你，我的數字更大一些，然後你需要支付5塊。
第二輪: 你猜是7，我告訴你，我的數字更大一些，你支付7塊。
第三輪: 你猜是9，我告訴你，我的數字更小一些，你支付9塊。

遊戲結束。8 就是我選的數字。

你最終要支付 5 + 7 + 9 = 21 塊錢。

給定n ≥ 1，計算你至少需要擁有多少現金才能確保你能贏得這個遊戲。

解題

這道題要求的是最壞情況下的最好值。如果n=10，先猜7，再依據大小猜9或4，如果猜9再不對，那一定是8或10，花費7+9=16。如果是猜4不對再往下猜也不會超過16，所以如果是n=10，結果是16。因此不能使用二分法，二分法每次只能取中間值mid，這道題裡要取到範圍內每個值進行比較。

定義一個矩陣dp，讓其長寬各+2是為了邊界情況。

dp[i][j] 表示從 i 到 j 範圍內至少需要多少現金。

對於每一個 i 和 j 的範圍，依次對每個數取值，即 k=i~j ，

當猜k時，有兩種情況：小於k或大於k，即在i~k-1或k+1~j範圍內，

因此比較dp[i][k-1]+k 和 dp[k+1][j]+k 取更大者，再計算下一個k的情況。

將每個k值得到的值比較，最小值為dp[i][j]。

class Solution {
    public int getMoneyAmount(int n) {
        int[][] dp=new int[n+2][n+2];
        for(int i=n;i>0;i--){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                dp[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
                
 
for(int k=i;k<=j;k++){
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i][j],Math.max(dp[i][k-1],dp[k+1][j])+k);
                }
            }
        }
        return dp[1][n];
    }
}

類似題目：

扔雞蛋

你將獲得K個雞蛋，並可以使用一棟從1到N共有 N層樓的建築。

每個蛋的功能都是一樣的，如果一個蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在樓層F ，滿足0 <= F <= N 任何從高於 F的樓層落下的雞蛋都會碎，從F樓層或比它低的樓層落下的雞蛋都不會破。

每次移動，你可以取一個雞蛋（如果你有完整的雞蛋）並把它從任一樓層X扔下（滿足1 <= X <= N）。

你的目標是確切地知道 F 的值是多少。

無論 F 的初始值如何，你確定 F 的值的最小移動次數是多少？

dp[k][m] 的含義是k個雞蛋 移動m次最多能夠確定多少樓層
dp[k][m] 最多能夠確定的樓層數為L
那麼我選定第一個扔的樓層之後，我要麼碎，要麼不碎
這就是把L分成3段
左邊是沒碎的那段 長度是dp[k][m - 1]
右邊是碎的那段 長度是dp[k-1][m - 1] 因為已經碎了一個了
中間是我選定扔的樓層 是1
所以遞推公式是
dp[k][m] = dp[k - 1][m - 1] + dp[k][m - 1] + 1

class Solution {
    public int superEggDrop(int K, int N) {
        int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
        for (int m = 1; m <= N; m++) {
            dp[0][m] = 0; // zero egg
            for (int k = 1; k <= K; k++) {
                dp[k][m] = dp[k][m - 1] + dp[k - 1][m - 1] + 1;
                if (dp[k][m] >= N) {
                    return m;
                }
            }
        }
        return N;
    }
}