正題

題目大意

一個節點的權值定義為它度數的平方，求所有\(n\)個點的有標號森林的所有節點權值和。

\(1\leq n,T\leq 5\times 10^3\)

解題思路

首先因為所有節點本質相同，所以我們可以只考慮一個節點所有情況下的權值和。

然後考慮這個平方和怎麼做，我們可以視為指定一個節點連出兩顆子樹的方案（可以相同）。

那麼考慮這個怎麼做，首先我們需要處理出\(n\)個節點有根樹和無根樹的陣列\(r,f\)。

然後我們要考慮怎麼統計除了指定子樹以外的方案，首先我們需要處理出\(n\)個點的森林個數\(s_n\)。

我們可以考慮每次列舉新加入的樹的大小，但是要指定這個節點編號最小的節點編號必須是\(1\)

然後還要算上非指定的子樹中和\(1\)號點聯通的其他節點的方案，那麼有

至於指定子樹的話，我們列舉指定子樹的大小轉移就好了。

時間複雜度：\(O(n^2+T)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5100;
ll T,P,C[N][N],f[N],r[N],g[N],s[N],d[N],ans[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	freopen("forest.in","r",stdin);
	freopen("forest.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&T,&P);
	C[0][0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		for(ll j=0;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;
	f[0]=f[1]=r[0]=r[1]=g[0]=s[0]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++) 
		f[i]=power(i,i-2),r[i]=f[i]*i%P;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		for(ll j=0;j<i;j++)
			(s[i]+=s[j]*f[i-j]%P*C[i-1][j]%P)%=P;
	for(ll i=1;i<N;i++){
		for(ll j=0;j<=i;j++)
			(g[i]+=s[j]*f[i-j+1]%P*C[i][j]%P)%=P;
		for(ll j=1;j<i;j++)
			(ans[i]+=r[j]*g[i-j-1]%P*C[i-1][j]%P)%=P;
	}
	for(ll i=1;i<N;i++){
		d[i]=ans[i+1];
//		for(ll j=1;j<=i;j++)
//			(d[i]+=r[j]*g[i-j]%P*C[i][j]%P)%=P;
		for(ll j=1;j<i-1;j++)
			(ans[i]+=d[j]*r[i-j-1]%P*C[i-1][j]%P)%=P;
	}
	while(T--){
		ll n;scanf("%lld",&n);
		printf("%lld\n",ans[n]*n%P);
	}
	return 0;
}