\(\texttt{Part 1}\) 樹的直徑問題

問題描述：

給出一棵樹，求出它直徑的長度。

\(\texttt{SOLUTION}\)：

這個問題不必多說，兩種演算法（證明略，程式碼略）。

• 演算法一：兩遍 dfs。
  • 第一遍：任定一個根 \(rt\) ，找到距離 \(rt\) 最遠的點 \(st\)。
  • 第一遍：以 \(st\) 為根，找到距離 \(st\) 最遠的點 \(ed\)。\(st\)，\(ed\) 之間的距離即為樹的直徑。
• 演算法二：樹形 dp。
  • 隨機一個根進行 dp ，用 \(dp_{i,0}\) 表示，在以 \(i\) 的子樹中，\(i\) 到葉子節點的最大距離，\(dp_{i,1}\)
    表示，在以 \(i\) 的子樹中，\(i\) 到葉子節點的次大距離。
  • 最終答案即為 \(\max{dp_{i,0}+dp_{i,1}}\) 。

例題：

• AcWing 1207. 大臣的旅費
• 思路： 不難發現，路費只與距離有關，題目要求最大路費，也就說明只要求出最大距離即可，而最大距離即為樹的直徑。
  • 演算法一 \(\texttt{AC CODE}\)
  • 演算法二 \(\texttt{AC CODE}\)

\(\texttt{Part 2}\) 樹的直徑問題 \(+\) 求出所有樹的直徑都經過的邊數

題目描述：

給出一棵樹，求出它直徑的長度，以及所有直徑都經過的邊的條數。

\(\texttt{SOLUTION}\)

：

我們設 \(dis_{u,v}\) 表示樹上節點 \(u\) 到節點 \(v\) 的距離。

首先看第一問，求樹的直徑。見上文\(……\)這裡略。

再看第二問。先看圖，假設我們第一問求出的直徑為加粗的那些點構成的鏈。

我們發現，\(dis_{1,2}=dis_{2,7}\)，這意味著下圖中的這些點也能成為樹的直徑。

所以，節點 \(2\) 左邊的邊一定不是所有直徑都經過的。

同理，\(dis_{4,6}=dis_{4,9}\)，所以節點 \(4\) 右邊的邊一定不是所有直徑都經過的。

所以我們只要將第一問中求出的樹的直徑上的節點記錄下來。

再求出如下圖所示以樹的直徑上的點 \(x\) 為根的這些子樹中，根到葉子的最大距離 \(mdep_{x}\)

例題

• luogu P3304
  • \(\texttt{AC CODE}\)

\(\texttt{Part 3}\) 刪除任意一條邊後兩棵樹的直徑

題目描述：

給定一棵樹，對於每一條邊，把這條邊刪掉之後得到的兩棵樹的直徑是多少？

\(\texttt{SOLUTION}\)：

對於這個問題，首先，我們需要預處理未分割前樹的直徑以及樹的直徑上的節點。

然後對以樹的直徑兩端為根分別跑一遍 dfs 。這個 dfs 要維護的資訊為：以任意節點 \(x\) 為子樹的的直徑。

最後，我們就可以愉快的分類討論了。

• 當刪除的邊在樹的直徑上時：兩棵子樹均可直接查詢。

• 當刪除的邊不在樹的直徑上時：有一棵子樹的直徑一定是未刪邊之前的樹的直徑，另一棵子樹則可直接查詢。

\(\texttt{AC CODE}\)

\(\texttt{Part 4}\)

\(\texttt{Part 5}\)

基環樹樹的直徑問題

\(\texttt{Part 6}\)

\(\texttt{Part 7}\)

動態刪邊樹的直徑問題。