淺談矩陣樹定理及其應用(Matrix-Tree)
阿新 • • 發佈：2022-01-16
矩陣樹定理
用途：解決生成樹(樹形圖)計數問題。
前置知識
矩陣初等變換
- 交換兩行/兩列，\(Det\)乘\(-1\)
- 某一行乘\(c\)，\(Det\)乘\(c\)
行列式
高斯消元求行列式
柯西-比內公式
有一個\(n\cdot m\)的矩陣\(A\)和\(m\cdot n\)的矩陣\(B\)，令\(n\le m\)
\(Det(AB)=\sum\limits_{S}Det(A_S)\cdot Det(B_S)\)，其中\(S\)表示集合{1,2,3...m}的一個大小為\(n\)的子集合，\(A_S\)表示\(A\)保留\(S\)中的\(n\)列的子矩陣，\(B_S\)表示保留\(S\)
結論
無向圖，度數矩陣-鄰接矩陣，隨便求一個主子式
外向樹，入度-鄰，去掉根所在的那一行一列
內向樹，出度-鄰，去掉根所在的那一行一列
記 \(K\) 為度數矩陣 \(-\) 鄰接矩陣，
無向無邊權圖的矩陣樹證明
記 \(L\) 為基爾霍夫矩陣(拉普拉斯矩陣):無向圖的度數矩陣\(-\)鄰接矩陣
- \(L\)中行的和為\(0\)，列的和為\(0\)
- \(Det(L)\)為\(0\)(高斯消元到最後一行只有一個數可以非零，並且這一行和為 \(0\) )
記\(L_{1,1}\)
下面的大點、小點均表示這條邊連線的兩個點的標號大小
構造關係矩陣\(B\): \[ B_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} 1 & &{v_i\ 與\ e_j\ 相連,v_i\ 標號比\ e_j連線的另一點小}\\ -1 & &{v_i\ 與\ e_j\ 相連,v_i\ 標號比\ e_j連線的另一點大}\\ 0 & &{otherwise}\\ \end{aligned} \right. \]