多重集合的定義：多重集合不要求元素不能重複。

多重集合表示：

\(M=\left \{k_{1}\cdot a_{1},k_{2}\cdot a_{2},\cdots ,k_{n}\cdot a_{n}\right \}\)\(\left ( 其中每個a_{i}代表是不同的元素，每個元素a_{i}有k_{i}個，k_{i}可以是有限數，也可以是∞。\right )\)

多重集的排列:

• \(多重集合M=\left \{k_{1}\cdot a_{1},k_{2}\cdot a_{2},\cdots ,k_{n}\cdot a_{n}\right \}的r排列數為k^{r}\)
• \(多重集合M=\left \{k_{1}\cdot a_{1},k_{2}\cdot a_{2},\cdots ,k_{n}\cdot a_{n}\right \}的全排列數為：\frac{\left ( k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}\right )!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{n}!}\)

例題：here

題解：

\(n\)個數，選擇\(n-1\)種，那麼有\(C_{n}^{n-1}也就是n種\)方案。對於每種方案，要從\(n-1\)個數裡面，選擇一個重複的數字，有\(n-1\)種方案。此時對於每種方案，長度都是為\(n\)的序列，考慮多重集合的全排列方案數。根據公式可知全排列數為\(\frac{n!}{2!}\)，所以題目答案就是：\(n\ast \left ( n-1\right )\ast \frac{n!}{2!}把除以2的階乘轉換為乘以2的階乘的逆元\)

AC_Code:

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace
 
 std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn = 1e5+10;
 5 const ll mod=1e9+7;
 6 
 7 ll F[maxn];
 8 ll n;
 9 
10 void init(){
11     F[0]=F[1]=1;
12     for(int i=2;i<=100000;i++) F[i]=1ll*F[i-1]*i%mod;
13 }
14 
15 ll qpow(ll a,ll b){
16     ll res=1;
17     while(b){
18         if( b&1 ) res = res*a%mod;
 
19         a = a*a%mod;
20         b>>=1;
21     }
22     return res;
23 }
24 
25 int main()
26 {
27     init();
28     ll t2=qpow(2,mod-2);
29     while( ~scanf("%lld",&n)){
30         ll ans=n*(n-1)%mod*F[n]%mod*t2%mod;
31         printf("%lld\n",ans);
32     }
33     return 0;
34 }