【P1313 [NOIP2011 提高組] 計算係數】題解
阿新 • • 發佈:2022-01-07
題目連結
題目
給定一個多項式 \((by+ax)^k\),請求出多項式展開後 \(x^n\times y^m\) 項的係數。
思路
根據二項式定理 \((a+b)^k=\sum_{i=0}^kC_{k}^ia^ib^{k-i}\) 我們可以把原式變為:
\[(ax+by)^k=\sum_{i=0}^nC_k^ia^ib^{k-i}x^iy^{k-i} \]在題目中 \(n=i,\,\, m=k-i\)。
於是答案就是 \(C_k^na^nb^m\)。
總結
這道題我當時看題時漏掉一個關鍵性質 \(n+m=k\),導致卡了很久。
這題原先實在考找規律+楊輝三角,我卻變成了一道公式應用。
因此我也明白,其實楊輝三角和二項式定理本質上差不多。
Code
// Problem: P1313 [NOIP2011 提高組] 計算係數 // Contest: Luogu // URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1313 // Memory Limit: 125 MB // Time Limit: 1000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org) #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+ (x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;} //#define mo //#define N #define M 10007 int n, m, i, j, k; int a, b, J[2000010]; int K(int a, int b) { int ans=1; while(b) { if(b&1) ans=(ans*a)%M; a=(a*a)%M; b>>=1; } return ans; } int C(int n, int m) { if(m==0) return 1; return J[n]*K(J[m]*J[n-m]%M ,M-2)%M; } signed main() { // freopen("tiaoshi.in","r",stdin); // freopen("tiaoshi.out","w",stdout); for(i=J[0]=1; i<=2000000; ++i) J[i]=J[i-1]*i%M; scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &k, &n, &m); printf("%lld", K(a, n)*K(b, m)%M*C(k, n)%M); return 0; }