平面圖大坑啊，我不打算填了 qwq

• 基本內容
  • 基本定義
  • 尤拉公式
• 光速證明尤拉公式
  • 正片
  • 擴充套件閱讀
• Reference

基本內容

如果知道了就可以直接跳過了 .

基本定義

平面圖 定義

若圖 \(G\) 能被畫在平面上且不同的邊僅在端點處相交，則稱圖 \(G\) 為平面圖 . 畫出的沒有邊相交的圖稱為 \(G\) 的平面表示或平面嵌入 .

面 定義

一個圖的平面嵌入會將整個平面劃分成若干個互不連通的區域，每個區域稱為一個面 . 無界的區域稱作外部面，有界的區域稱作內部面 . 包圍某個面的所有邊構成了該面的邊

對偶圖 定義

設 \(G\) 為平面圖的一個平面嵌入，定義它的對偶圖 \(G^∗\)

為：

1. 在 \(G\) 中的每一個面取一個點，作為 \(G^∗\) 的頂點；
2. 對於 \(G\) 中的每一條邊 \(e\)，都對應一條 \(G^∗\) 中的邊 \(e^∗\) 連線與 \(e\) 相鄰的兩個面中的頂點，且 \(e^*\) 在平面中穿過 \(e\) .

尤拉公式

首先要明確我們到底要證什麼吧，尤拉公式有好多啊 qwq .

平面圖尤拉公式

對於一個連通的平面嵌入 \(G\)，它的點數 \(V\)，邊數 \(E\)，面數 \(F\) 滿足關係式

\[V-E+F = 2 \]

推論：

對於一個有 \(k\) 個連通塊的平面嵌入 \(G\)，它的點數 \(V\)，邊數 \(E\)

，面數 \(F\) 滿足關係式

\[V-E+F = C+1 \]

推論的證明：

對 \(G\) 的每個連通塊 \(G_{1\cdots k}\) 用 Euler's Formula，得

\[V_i-E_i+F_i=2\quad 1\le i\le k \]

相加，得

\[\sum V_i - \sum E_i + \sum F_i = 2k \]

而顯然 \(\displaystyle \sum V_i = V,\, \displaystyle \sum E_i = E,\, \displaystyle \sum F_i = F+(k-1)\)（\(F\) 的式子因為外部面多計算了 \(k-1\)

次） .

從而 \(V-E+F+(k-1) = 2k\)，即 \(V-E+F = k+1\) . 證畢 .

光速證明尤拉公式

正片

考察圖 \(G\) 的一棵生成樹 \(\mathcal T\) 以及其對偶圖 \(G^{*}\) .

顯然 \(G\) 的非生成樹邊對應 \(G^{*}\) 中也形成一棵生成樹 \(\mathcal T^{*}\) .

眾所周知，樹的邊數等於點數減一 .

設生成樹邊數為 \(e\)，於是

• \(V\)，即 \(G\) 的頂點數，則 \(V=e+1\) .
• \(F\)，即 \(G^{*}\) 的頂點數，則 \(F=e+1\) .
• \(E\)，即 \(\mathcal T,\mathcal T^{*}\) 的邊數和，則 \(E=2e\) .

從而

證畢

擴充套件閱讀

• Cauchy 的證明
• 歸納法
• 平面圖。。

Reference

• 平面圖尤拉公式的精彩證明 - _beginend
• 淺談平面圖相關演算法 - 唐紹軒（WC 2022）
• 尤拉公式 -百度百科
• 《圖論及其應用》學習筆記（平面圖） - HeinSven

以下是部落格簽名，正文無關

本文來自部落格園，作者：Jijidawang，轉載請註明原文連結：https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/15844206.html