Konata28

三層：階段，狀態，決策。

Hu Kang

以下均以 01 揹包舉例。

狀態表示

將每一個狀態看作一個集合集的屬性。

\(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 個物品中總體積為 \(j\) 的物品集合集的元素大小和的最大值（屬性）。

\(e.g.\)

其中 \(\{1,2\}\) 的價值和最大，為 \(6+8=14\)，故 \(f[3,9]=14\)

常見的屬性有：大小、最值、和、乘積、異或和……

狀態轉移

對集合集中集合的劃分。

將 \(f[i,j]\)

兩種情況分別對應 \(f[i-1,j]\) 和 \(f[i-1,j-w_i]+v_i\)。

所以狀態轉移方程為 \(f[i,j]=\max(f[i-1,j],f[i-1,j-w_i]+v_i)\)。

\(e.g.\)

藍色為不含 \(i\) 的，紅色為含 \(i\) 的。

再思考，可以用滾動陣列優化空間複雜度。

Unknown

拿到一道題，先寫出狀態轉移方程，再優化時間複雜度

狀態優化：

對於狀態可累加
\(e.g.dp[i+j]=dp[i]+dp[j]+i+j\)
的，用倍增優化

決策優化：

\(e.g.dp[i][j]=\max(dp[i-1][j-233]+(j-233)^2,dp[i-1][j-232]+(j-232)^2,...,dp[i-1][j]+j^2)\)
單調佇列優化

\(e.g.dp[i]=\max(dp[1]+i,dp[2]+2i,...,dp[i-1]+(i-1)i)\)
斜率優化

交叉小於包含
\(e.g.dp[i][j]=\max(dp[i][i]+dp[i+1][j],dp[i][i+1]+dp[i+2][j],...,dp[i][j-1]+dp[j-1][j],dp[i][j]+dp[j][j])\)

本文作者為小蒟蒻：ShaoJia

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碼字不易，求關照，謝謝！