【淺談】 單元最短路徑涉及演算法 & 在路由選擇中的應用(只有Dijkstra,剩餘3/4有待更新)
- 寫在前面：因為能力和記憶有限，為方便以後查閱，特寫看上去 “不太正經” 的隨筆。隨筆有 “三” 隨：隨便寫寫；隨時看看；隨意理解。
注：本篇文章涉及資料結構(圖)，離散數學，演算法，計算機網路相關知識，但都只為加深印象淺層剖析，讀者可根據自身情況選擇閱讀，若求甚解，勿往下讀，以免浪費時間。
不知道讀者聽說過的是哪個版本：單源最短路徑，最短道路樹，兩結點間的最短路徑；總的來說，沒什麼區別，注意與最小生成樹 (也稱最小支撐樹或最小生成/支撐子圖) 區分即可。
幾種演算法：
1.迪傑斯特拉 / 迪科斯徹(Dijkstra)演算法：
步驟：
1）選擇一個頂點作為起(源)點，用陣列 dis[ ] 記錄源點到其餘各點的最短距離(distance)，增加一個已訪問(visited)點集 vis[ ]，並將起點加入 vis[ ] 集合中；
2）由當前訪問結點開始，更新由該點到其餘未訪問點的距離，若訪問點與某點之間的道路不存在，則距離記為 +∞ ，只有當新距離＜原來距離時，才能改變相應距離的值dis[ ]
設當前訪問結點為 a，對於未訪問結點 b 的距離更新，應判斷 dis[a] + ab間的道路長度( 記為Edge(a,b) ) < dis[b] 是否成立，成立說明經過a再到b的道路更短，故可將dis[b]的值更新為 dis[a]+Edge(a,b);
3）在未訪問點中選擇 dis[] 值最小的一個結點，作為下一個訪問點並加入vis[ ] 集合中；(可以看到每次選擇的點的 dis[ ] 值已經固定)
4）回到步驟2，當所有結點已訪問 (即所有點加入vis[ ]陣列) 時，跳出迴圈，演算法結束，此時 dis[ ] 陣列儲存的值即為源點到其它所有點的最短距離。
舉個栗子：
我們以結點a作為起始點，運用上述方法：
| 步驟 | 訪問結點 | vis點集 | dis點集(加粗表示已訪問) | 準備加入的邊 |
| 0（初始化） | / | / |
dis[a]=0,dis[b]=∞ dis[c]=∞,dis[d]=∞ dis[e]=∞,dis[f]=∞ |
/ |
| 1 | a | a |
dis[a]=0,dis[b]=5(new) dis[c]=3(new),dis[d]=∞ dis[e]=∞,dis[f]=∞ |
ac |
| 2 | c | a,c |
dis[a]=0,dis[b]=4(new) dis[c]=3,dis[d]=5 dis[e]=8(new),dis[f]=∞ |
cb |
| 3 | b | a,c,b |
dis[a]=0,dis[b]=4 dis[c]=3,dis[d]=5 dis[e]=8,dis[f]=∞ |
cd |
| 4 | d | a,c,b,d |
dis[a]=0,dis[b]=4 dis[c]=3,dis[d]=5 dis[e]=8,dis[f]=9(new) |
ce |
| 5 | e | a,c,b,d,e |
dis[a]=0,dis[b]=4 dis[c]=3,dis[d]=5 dis[e]=8,dis[f]=9 |
df |
| 6 | f | a,c,b,d,e,f(結束end) |
不難發現每步選擇訪問的點是未訪問結點中 dis[ ] 值最小的,
對於加入邊的繪製，卻依然要看圖分析，這很明顯不利於機器輸出，這裡提供一種解決方案：
加入一個新的陣列集合 path[ ] ，記錄相應結點的前驅即可，這樣對於每個訪問點，呼叫一次path可找到相應加入的邊；此外，不斷呼叫path找到前驅，直到path值為起點，就可以描繪出兩點間的最短路徑。
對於 path[ ] 相關值的更新也是比較巧妙的，表格上dis值中標有new(紅色突出)的結點，說明經由當前訪問結點後再到這些點的距離更小，進行資料更新，那麼其前驅必定是當前訪問結點，隨之更新即可；
簡而言之，初始將所有結點path值設為自身(∀m∈Graph，path[m]=m)，設 k 為當前訪問結點，對於未曾訪問的結點 n，當 dis[k]+Edge(k,n)<dis[n] 成立 (為true) 時，dis[n]=dis[k]+Edge(k,n)，path[n]=k；
例中最短道路樹為 (見下圖紅色標註)：
該方法繪製出的是無向樹的結構，樹是連通且無環的圖，屬於圖的一種特殊形態。
=============相信讀到這裡的你對dijkstra演算法核心部分的程式碼實現已經有了基本框架============
演算法分析：
Dijkstra演算法每一步選擇dis值最小的點作為區域性最優解，不考慮子問題的解(貪心與動態規劃的區別在此)，屬於貪心演算法。
因此對於(所有)貪心演算法，我們可以採用以下格式分析，框架部分就不列舉了，直接拿該例項品嚐：
①貪心策略：對於帶權圖，規定Edge(i，j)表示 i 到 j 的距離，即邊權，且所有權重非負，dis[ ]表示只經過vis(已訪問)點集，各點相對於起點的最短路徑長度，short[ ]表示完整圖上各點相對起點的最短距離。設 s 為起始點。
②命題：當演算法進行至第 k 步時，對於vis中每個結點 i，有dis[ i ] = short[ i ]。
③對命題的證明：採用步數歸納法。
當k=1時，vis中只有點s，dis[s]=short[s]=0;
設演算法進行至第 k 步時，命題成立，即dis[k]=short[k]，驗證k+1步：
如圖所示，vis點集為圈內所示，虛線為目前vis陣列選擇點組成的最短道路樹。假設用該演算法選擇的是v點，對應最後一次出vis的點是u，可知dis[v]在vis外為最小，但是k+1步演算法正確性不可知，不能確定選擇v點最優，此類證明中大致都套用反證的思想，不妨假設存在一條新的到v點的道路(綠色箭頭標出)，使得dis[v]取得最小值，那麼此時k+1步選擇的不是v，我們假設為y點，對應最後一次出vis點也會隨之變化，也不妨假設為x點，由前述條件顯然dis[y]>dis[v]，那麼dis[y]+Edge(y,v)>dis[v]同樣成立，此時不能保證dis[v]最小，故第k+1步選擇的必定是v點，證畢。
④時間複雜度分析：初始化dis陣列花費O(n)，對於當前訪問結點與所有未訪問點間的比較(更新dis值的那部分)，vis每次加入一個點，共比較(n-1)+(n-2)+...+2+1=O(n2)，綜合兩部分，時間複雜度為O(n2)。
=============2022-02-07，21:22:57，才疏學淺，多有疏漏，隨緣更新============