質數記數演算法：埃拉託斯特尼篩法
阿新 • • 發佈：2022-02-12
質數計數演算法：埃拉託斯特尼篩法
前置知識：質數（素數）是指：在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數。在判斷一個數是否為質數時，常用的方法為：從2開始，遍歷到\(\sqrt n\)，如果沒有可以整除的，則n是質數；反之，如果找到可以整除的，n就為合數.（對於大多數的暴力解法，也大多采用這種求法）
方法介紹
埃拉託斯特尼篩法是一種非常巧妙的經典演算法。基本思想是：如果找到一個質數，那麼對於這個質數的倍數就必定不是質數。所以，如果需要在一個範圍[0,n]找到所有質數，那麼我們只需要把不大於\(\sqrt n\)的所有質數的倍數取出，剩下的一定是質數，這就是篩法。
例如，對於質數7來說，它的倍數14，21，28等都一定不是質數，如果按照之前的暴力求解演算法，那麼我們在驗證質數的時候，在這裡就會進行一次多餘的驗證。按照埃拉託斯特尼篩法的思想，驗證到一個質數時，我們就可以同時把它的倍數也篩選出去。
通常來說，一開始會建立兩個列表（例如陣列），一個用於存放所有待檢查的數字，稱為數字列表（包含質數和合數），另外一個用來存放已經發現的質數，稱為質數列表。篩法的第一步是將數字列表中的第一個數字刪除，把它新增到質數列表中（因為1不在定義範圍之中，所以這裡的第一個數是2），隨後檢查數字列表中所有2的倍數全部刪除。之後再將數字列表中的第一個數刪除，新增到質數列表中，同時在數字列表中刪除倍數，迴圈操作直到數字列表為空。
方法改進
- 首先，因為所有的偶數都是2的倍數（好像是個廢話），所以在開始生成數字列表的時候就可以只生成奇數，這樣一來列表大小就就可以縮小一半
- 當數字列表中的首個元素的值大於最大數字的平方根的時候，演算法就可以停止了。
- 另外還有一種取巧的方法，使用單獨的布林陣列，將索引作為自然數，true表示是質數，false表示不是質數，這樣就可以節省一個記憶體空間。
程式碼實現可以參考百度：埃拉託斯特尼篩法_百度百科
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