質數判斷方法

一、暴力法

定義：一個只能被1和自身整除的數為質數
演算法：從2開始遍歷至數字本身減一，若可被其他數整除則不是質數

def isPrime(x):
    if x==1:
        return False
    for i in range(2,x):
        if not x%i:
            return False
    return True

二、遍歷優化

特點：任意一個非質數n，其任一因式二元組中的兩個數，一個小於 \(\sqrt{n}\)，另一個大於 \(\sqrt{n}\)
優化：遍歷區間只需用到\(\sqrt{n}\)

def isPrime(x):
    if x==1:
        return False
    #floor():向下取整
    for i in range(2,floor(sqrt(x))+1):
        if not x%i:
            return False
    return True

三、深度優化

特點：質數總是等於6x-1或6x+1，其中x為自然數
即質數總是6的倍數的左右兩端的數，但反之不一定（6的倍數的左右兩端的數不一定是質數）
而不是6的倍數的左右兩端的數一定不是質數（可證）

則優化過程是：
1. 先判斷是否為6的倍數的左右兩端的數，若不是，則一定不是質數
2. 以6為步長，從5開始，到 \(\sqrt{n}\)

因為通過第一個判斷後，只剩下6的倍數的左右兩端的數即6x-1和6x+1。第二個判斷即判斷數字n這個6的倍數的左右兩端的數是否為質數。
① 對於迴圈中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被 6i，6i+2，6i+4整除，則n至少得是一個偶數，但是(n=6x-1或6x+1)的形式明顯是一個奇數，
故不成立，因此判斷時不需用這三種數。
② 對於6i+3，因為可被3整除，若n可以整除6i+3則n也為3的倍數，但n=6x-1或6x+1，n必不為3的倍數，因此也不用該數
③ 則最終剩下6i-1和6i+1，判斷二者是否為n的除數即可。下面程式中i從5開始，則表示6i-1，則6i+1為i+2

def isPrime(n):
    if n==2 or n==3:
        return True
    #不是6的倍數的左右兩端的數一定不是質數
    if n==1 or (n%6!=1 and n%6!=5):
        return False
    #判斷6的倍數的左右兩端的數是否為質數
    for i in range(5,floor(sqrt(n))+1)[::6]:
        if not n%i or not n%(i+2):
            return False
    return True