正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4439

題目大意

給出\(1\sim n\)的排列\(a\)。求一個字典序最小的\(01\)串\(s\)滿足將\(0\)對應位置按順序取出成為序列\(A\)，剩下的成為序列\(B\)。

要求\(A\)和\(B\)的字首最大值個數相同。

\(1\leq n\leq 2\times 10^5\)

解題思路

首先對於字首最大值來說，在排列\(a\)中的字首最大值肯定在\(A/B\)中也是字首最大值。

而假設我們序列\(A\)和\(B\)中都存在一個字首最大值是在\(a\)中沒有出現過的，那麼顯然這兩個值前面比它大的值都在另一個序列中，所以我們交換這兩個值時\(A/B\)

所以如果存在一組解\(A/B\)中存在一個序列的所有字首最大值都是\(a\)中原來的最大值。

那麼接著考慮，假設我們做到一個狀態：\(A/B\)中目前最大值個數為\(n_a/n_b\)，後面還有\(c\)個原來\(a\)序列中的最大值，\(B\)需要用\(k\)個，剩下\(p\)個都是新的最大值，那麼如果有解就有等式

而左邊的式子是定值，所以我們只需要考慮右邊式子的取值範圍。

然後對於序列\(B\)，目前最後一個數是\(m_b\)，設舊最大值數權為\(2\)，其他數的權值\(1\)

而因為權值只有\(1\)和\(2\)，所以我們用資料結構維護一下奇偶的最大答案即可。

由於他要求字典序最小，我們無法確定\(A\)是全是舊的最大值還是\(B\)全是舊的最大值，所以我們兩種情況都需要判斷。

時間複雜度：\(O(n\log n)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,s,a[N],od[N],ans[N],f[N][2]; 
struct SegTree{
	int w[N<<2];
	void Change(int x,int L,int R,int pos,int val){
		if(L==R){w[x]=val;return;}
		int mid=(L+R)>>1;
		if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,val);
		else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,val);
		w[x]=max(w[x*2],w[x*2+1]);
	}
	int Ask(int x,int L,int R,int l,int r){
		l=max(l,L);r=min(r,R);
		if(l>r)return w[0];
		if(L==l&&R==r)return w[x];
		int mid=(L+R)>>1;
		if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);
		if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);
		return max(Ask(x*2,L,mid,l,mid),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r));
	}
}T[2];
bool check(int p,int x){
	if(x<0)return 0;
	return T[x&1].Ask(1,1,n,p,n)>=x;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int maxs=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]>maxs)od[i]=1,s++,maxs=a[i]; 
	}
	memset(T[1].w,0xcf,sizeof(T[1].w));
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int p=!od[i];
		for(int j=0;j<2;j++){
			f[i][j]=T[j^p].Ask(1,1,n,a[i]+1,n)+1+od[i];
			T[j].Change(1,1,n,a[i],f[i][j]);
		}
	}
	int A=0,B=0,ma=0,mb=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s-=od[i];
		T[0].Change(1,1,n,a[i],T[0].w[0]);
		T[1].Change(1,1,n,a[i],T[1].w[0]);
		if(check(max(ma,a[i]),B+s-A-(a[i]>ma))
		||check(mb,A+s-B+(a[i]>ma)))
			ans[i]=0,A+=(a[i]>ma),ma=max(ma,a[i]);
		else ans[i]=1,B+=(a[i]>mb),mb=max(mb,a[i]);
	}
	if(A!=B)return puts("-1")&0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		putchar(ans[i]+'0');
	return 0;
}