一.什麼是動態規劃

動態規劃是一種重要的思維方法，通過利用已有的子問題資訊高效求出當前問題的最優解。

由於動態規劃並不是某種具體的演算法，而是一種解決特定問題的方法，因此它會出現在各式各樣的資料結構中，與之相關的題目種類也更為繁雜。

二.動態規劃基礎

一般的，對於解決動態規劃的題目，有以下三個步驟：

• 1.根據題目設計狀態，初始化狀態。
• 2.根據狀態，推導轉移方程。（也就是考慮如何從 \(i-1\) 轉移到 \(i\)）
• 3.確定最優解，求出答案。

而動態規劃與貪心演算法本質上的區別在於：貪心演算法算出的是區域性最優解，而動態規劃算出的是全域性最優解。所以我們要認真讀題，避免判斷錯誤。

三.基本例題入門

• P1216 [USACO1.5][IOI1994]數字三角形 Number Triangles

  讀題，按照上文分 \(3\) 步：
  • 1.設立狀態： \(dp_{i,j}\) 表示從起點到點 \(i,j\) 的最大價值，初始化 \(dp_{1,1}=a_{1,1}\)。
  • 2.推導轉移方程：發現當前的 \(dp_{i,j}\) 有兩條路可以得到：從點 \(i-1,j-1\) 或點 \(i-1,j\)，也就是當前點上一層的兩個點。於是轉移方程為 \(dp_{i,j}=\text{max}(dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-1})+a_{i,j}\)。
  • 3.確定最優解：題目要求求到達最底層所獲得的最大值。根據我們設計的狀態，也就是求 \(\text{max}(dp_{r,i})\)
    。
    程式碼如下：

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N = 1e3 + 7;
  int dp[N][N], n, a[N][N];
  int main () {
  	cin >> n;
  	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
  		for (int j = 1; j <= i; j ++) {
  			cin >> a[i][j];
  		}
  	}
  	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
  		for (int j = 1; j <= i; j ++) {
  			dp[i][j] = max (dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + a[i][j];
  		}
  	}
  	int ans = 0;
  	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
  		ans = max (ans, dp[n][i]);
  	}
  	cout << ans;
  	return 0;
  }