62. 不同路徑

題目連結:62. 不同路徑(中等)

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish” ）。

問總共有多少條不同的路徑？

示例 1：

輸入：m = 3, n = 7
輸出：28

示例 2：

輸入：m = 3, n = 2
輸出：3
解釋：
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

輸入：m = 7, n = 3
輸出：28
 

示例 4：

輸入：m = 3, n = 3
輸出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100

• 題目資料保證答案小於等於 2 * 109

解題思路

動態規劃問題。

1. 確定dp陣列以及其下標的含義

   該題的dp陣列是一個二維陣列。dp[i,j]表示從(0,0)出發到(i,j)的路徑數

2. 確定遞推公式

   題目中表示每一步只能向下或向右移動，所以要走到 (i,j)處，只能從從(i,j-1)處向下走一步或從(i-1,j)處向右走一步。所以可以得到遞推公式： dp[i,j] = dp[i,j - 1] + dp[i - 1,j]

3. dp陣列的初始化

   從(0, 0)到(i, 0)的路徑只有一條，所以dp[i,0] = 1

   ，同理，dp[0,j] = 1

4. 確定遍歷順序

   由遞推公式可以看出dp[i,j]是由其上方和其左方推到出來的，所以遍歷順序是從左到右一層一層地遍歷的

5. 舉例推導dp陣列

   當m=3,n=7時，dp陣列如下所示

C++

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m][n]; //M行N列，用i表示行，j表示列
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0
 
][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

JavaScript

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function(m, n) {
    //JS中建立二維陣列的方法......
    const dp = new Array(m);
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        dp[i] = new Array(n);
    }
    for (let i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
    for (let j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
};

時間複雜度：O(m × n)

空間複雜度：O(m × n)