原題連結

簡要題意：

給定 \(T\) 組 \(x,z\)，求 \(\min{y} \space s.t. \space \space x \cdot y \cdot \gcd(x,y) = z\). 可能不存在。

\(T \leq 5 \times 10^5, x \leq 10^9, z < 2^{63}\).

很容易想到從質因數分解的角度入手。

不妨令對於某個素數 \(p\)，\(x\) 含 \(a\)

分類討論。

對於 \(c > 2a\) 的情況，此時必有 \(b > a\)，即 \(b = c - a\).

對於 \(c \leq 2a\) 的情況，此時必有 \(b < a\)，即 \(b = \frac{c}{2}\)，但存在的條件是 \(c\) 為奇數。

到這裡，我們暴力去模擬它，就可以得到一個 \(\mathcal{O}(T\sqrt{z})\)

如何快速判斷是否存在？可以考慮取 \(r = \min(2a,c)\). 對於 \(c>2a\)，一定存在，對應 \(r\) 一定為偶數；對於 \(c \leq 2a\)，\(c\) 為偶數時存在，同樣對應 \(r\) 為偶數。

也就是說，對於某個素數 \(p\)，\(r = \min(2a,c) \equiv 0 \pmod 2\) 則在該素數上存在。

我們再從素因數倒推回去。取所有 \(p^r\) 的乘積，得到的結果就是 \(q = \gcd(x^2, \frac{z}{x})\). 而所有素數的指數為偶數則對應了 \(q\) 為完全平方數。

於是我們已經可以在 \(\mathcal{O}(\log z)\)

剩下來就很好辦了。

\(r = \min(2a, c) = 2a\) 時 \(b = c-a\).

\(r = \min(2a, c) = c\) 時 \(b = \frac{c}{2}\).

考慮用一個式子直接表示 \(b\) 的值。很容易想到：

這個式子就是本題的真諦所在。由於 \(q\) 是完全平方數，那麼此時 \(b\) 一定存在。而將所有 \(p^b\) 乘起來，就是題目所求的答案，整理化簡之後也就是

時間複雜度：\(\mathcal{O}(T\log z)\).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main() {
	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		ll x, z; scanf("%lld %lld",&x,&z);
		if(z % x) {puts("-1"); continue;}
		z /= x;
		ll p = __gcd(x * x, z);
		ll q = sqrt(p);
		if(q * q == p) printf("%lld\n", z / q);
		else puts("-1");
	}
}