場外選手口胡題解

題目大意

• \(t\) 組資料，每組資料給定 \(x, z\)，構造最小的 \(y\) 使得 \(z = x \times y \times \gcd(x, y)\)，無解則輸出 \(-1\)。
• \(1 \leq t \leq 5 \times 10^5\)，\(1 \leq x \leq 10^9\)，\(1 \leq z < 2^{63}\)。

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解題思路

首先判無解。容易發現如果 \(z\) 不是 \(x\) 的倍數顯然無解。

接下來我們將題目中所給的式子做第一步化簡：

\[y \times \gcd(x, y) = \frac zx \]

我們發現 \(\gcd(x, y)\)

不太方便化簡，那就把它設出來吧。

不妨設 \(\gcd(x, y) = k\)，\(x = k \times n\)，\(y = k \times m\)，我們有

\[(k \times m) \times k = k^2 \times m = \frac zx \]

所以 \(k^2 \mid \frac zx\)。

考慮到 \(x = k \times n\)，我們易得 \(k^2 \mid x^2\)。

\(\therefore k^2 \mid \gcd(x^2, \frac zx)\)

似乎有些進展不下去了。那我們來大膽的猜測：有沒有可能這個 \(\gcd(x^2, \frac zx)\)

就恰好等於 \(k^2\) 呢？

推柿子，可以得到

\[\gcd(x^2, \frac zx) = \gcd((k \times n)^2, k \times y) = \gcd(k^2 \times n^2, k^2 \times m) = \gcd(n^2, m) \times k \]

注意到 \(n, m\) 互質，所以 \(k^2 = \gcd(x^2, \frac zx)\)，我們可以愉快地求出 \(k\) 啦！

當然，我們需要判斷一下，如果 \(\gcd(x^2, \frac zx)\) 不是完全平方數則無解。

再次觀察我們最初得到的式子，\(y \times \gcd(x, y) = \frac zx\)

。

既然我們已經知道了 \(\frac zx\)，知道了 \(k\) 也就是 \(\gcd(x, y)\)，那麼問題也迎刃而解了，

\[y = \frac zx \div \gcd(x, y) = \frac zx \div \sqrt{\gcd(x^2, \frac zx)} \]

單次詢問時間複雜度 \(O(1)\)。

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程式碼

資料還沒出，程式碼先咕了