NOI Online 2022 入門組 字串

題意簡述

給定兩個字串 \(S\) 和 \(T\) 和一個初始為空的字串 \(R\)，其中 \(S\) 長度為 \(n\)，且只由 0, 1, - 三種字元構成（注：這裡的第三種字元是減號）， 然後進行 \(n\) 次操作， 每次會取出 \(S\) 的第一個字元（記為 \(c\)），並將其從 \(S\) 中刪去。如果 \(c = \texttt{-}\)，則要刪去 \(R\) 的開頭字元或結尾字元（資料保證刪去後 \(R\) 不為空）。將 \(c\) 加入到 \(R\) 的末尾。問將 \(R\) 變成 \(T\) 的方案數。

解題思路

首先不難想到一個 \(\mathcal O(2^{n/2})\)

看到題目的資料範圍，以及題目要我們求方案數，就聯想到 DP， 我們定義狀態 \(f[i][j][x][y]\) 表示 \(S\) 操作到第 \(i\) 個， 成功匹配了 \(T\) 的前 \(j\) 個數， \(R\) 前面要刪除 \(x\) 個數，後面要刪除 \(y\) 個數的方案，那麼狀態轉移方程就是 ：

1. 若 \(S_i=-\)， \(f[i + 1][j][x - 1][y] += f[i][j][x][y]\)
2. 若 \(S_i \ne -\)， \(f[i + 1][j][x][l+1] += f[i][j][x][y]\)
3. 若 \(S_i \ne -\) 且 \(S_i = T_{j - 1}\) 且 \(l = 0\)， \(f[i+1][j +1][x][y] += f[i][j][x][y]\)

複雜度是 \(\mathcal O(n ^ 3m)\) 的，不能通過所有資料，但是我們發現其實最後一維完全沒有必要記錄，因為每次操作完後，\(R\) 的字元數是確定的，所以只要知道前面有幾個要刪除，成功匹配了幾個，狀態就是唯一確定的，去掉一維後複雜度就變成 \(\mathcal O (n ^ 2m)\) 的，但是實現一下就會發現 DP 要處理的細節非常多，我們所以可以寫 記憶化搜尋 ！

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 410, mod = 1e9 + 7;
int f[N][N][N], n, m, T;
char s[N], t[N];
int dfs(int i, int j, int x, int y) {//表示操作到s[i],匹配成功j個，前面要刪x個，後面刪除y個走下去成功的方案
    if (i > n) return j == m && !x && !y;
    if (~f[i][j][x]) return f[i][j][x];
    int val = 0;
    if (s[i] == '-') {
        if (x) val = (val + dfs(i + 1, j, x - 1, y)) % mod;//刪前面的
        if (y) val = (val + dfs(i + 1, j, x, y - 1)) % mod;//刪後面的
    }
    else {
        val = (val + dfs(i + 1, j, x, y + 1)) % mod;//直接放到後面
        if (s[i] == t[j + 1] && !y) val = (val + dfs(i + 1, j + 1, x, y)) % mod;//如果匹配成功
        if (!j && !y) val = (val + dfs(i + 1, j, x + 1, y)) % mod;//如果中間和後面都是空的
    }
    return f[i][j][x] = val;
}
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        memset(f, -1, sizeof(f));
        scanf("%d%d%s%s", &n, &m, s + 1, t + 1);
        printf("%d\n", dfs(1, 0, 0, 0));
    }
    return 0;
}