技術背景

在上一篇部落格中，我們用矩陣的語言介紹了量子計算中基本量子單元——量子位元，與量子門操作的相關概念。通過對量子態的各種操作，相當於傳統計算機中對經典位元的操作，就可以完成一系列的運算了。但是量子計算的一個待解決的問題是，所有儲存在量子態中的資訊是沒辦法從經典世界直接讀取的，只能通過量子測量，使得量子態坍縮到經典位元之後，才能夠在經典世界裡進行讀取。

量子測量的矩陣形式

如果通過各種量子門操作構成的量子線路，也稱為量子演算法，會使得一個給定的量子態\(\left|\psi_0\right>\)變化到目標量子態\(\left|\psi_t\right>\)。那麼以當前時代的量子計算機的條件來說，還沒辦法做到直接在量子態上儲存和讀取資訊，只能夠將其坍縮到經典位元上，去獲取測量得到的分佈資訊，以此來近似為真實的量子態資訊。當然，這個過程需要大量的測量。舉一個具體的例子來說，假如我們對一個初始態為\(\left|0\right>\)

的量子位元作用一個\(H\)門，那麼得到的結果是：

\[H\left|0\right>=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|0\right>+\frac{\sqrt{2}}{2}\left|1\right>=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right) \]

那麼最終量子測量所得到的概率應該為\(\left|0\right>:50%,\left|1\right>:50%\)，而我們如果實際去測量的話，以IBM Composer（參考連結1）為例，就會得到這樣的取樣（通過量子測量得到經典統計結果的過程，也可以稱之為取樣）結果：

可以看到，取樣得到量子態並不是完全等同於理論預測值，但是也非常的接近，取樣得到\(\left|1\right>\)態的概率約為：49.22%。需要明確的是，這個誤差是來自於測量本身的統計誤差，隨著測量次數的增長，這個誤差會被逐漸的消減。而在真實的量子計算機上面去執行這樣的程式的話，還有可能存在系統誤差、環境誤差等影響，這也是當前的量子計算機還得不到重大應用的根本原因所在。

那麼回到我們所講述的量子測量，可以看到在IBM Composer的截圖中，我們在Hadamard門之後加了一個Measure的操作，並且在Measure操作的logo上還帶了一個Z的字母，這表示的是量子測量在Z軸上進行，可以簡單的理解為，把一個布洛赫球上的量子態向量投影到Z軸上進行讀取，最後得到一個統計的結果，布洛赫球的示意圖如下所示：

如果用數學矩陣來表示的話，Measure在量子計算中使用到了一個Observable觀測量的概念，通過給定測量基，來使得量子態向量坍縮，我們假定這樣的一組測量基：

\[O_0=\left|0\right>\left<0\right|=\left( \begin{matrix} 1&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)\\ O_1=\left|1\right>\left<1\right|=\left( \begin{matrix} 0&0\\ 0&1 \end{matrix} \right) \]

這裡所使用的狄拉克符號，其實就是橫向量與列向量，只是一個物理學上常用的簡寫標記，我們重點關注一下測量基的應用。測量基得到的結果是這樣的形式：

\[P=\left<\psi_t\right|O\left|\psi_t\right> \]

然後把我們上述所得到的量子態向量與測量基矩陣代入到上面的這個式子中，就可以得到以下的測量結果：

\[P_0=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\\ P_1=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0&0\\ 0&1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right)=\frac{1}{2} \]

這就等同於我們在Z軸的測量基下所計算得的理論預期結果，跟上述IBM Composer所得到的結果是一致的，這就是量子測量的最基本的運算。而在真正的量子演算法實現過程中，尤其以近幾年非常熱門的NISQ（Near Term Intermediate Scale Quantum Computing）近期量子演算法為例，其用於測量的測量基有依賴於實際的待求解問題，需要在實驗過程中構造非常複雜的測量基，這個就留著後面的NISQ專題再進行介紹。

總結概要

量子的世界與經典的世界存在著資訊的隔閡，我們可以通過多個量子位元所構成的量子態去儲存大量的資訊，以及進行規模大到經典計算機所無法執行的運算。但是畢竟我們還依然生活在經典的世界中，最終我們還是需要將量子態坍縮到經典位元再進行讀取，而這個使得量子態坍縮的過程，就是一種量子測量的方法。通過大量的量子測量，我們就可以近似的獲得到量子態向量中所儲存的資訊。

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參考連結

1. https://quantum-computing.ibm.com/composer/
2. The Basics of Quantum Computing for Chemists. Daniel Claudino.