【雅禮集訓 2017 Day2】棋盤遊戲
阿新 • • 發佈：2022-04-06
description
給一個\(n*m\)的棋盤，'.'為可通行，'#'為障礙。Alice選擇一個起始點，Bob先手從該點往四個方向走一步，Alice再走，不能走走過的點，誰不能動誰就輸了。
問Alice選擇哪些出發點能贏。
solution
棋盤黑白染色
分類後建二分圖
1.Alice選擇關鍵匹配點(所有的最大匹配都包含該點)，Bob贏。
2.否則，Alice選擇(含不包含該點的匹配），Alice贏。
證明：如果為2的話（假如Alice選的起點為S），存在一個最大匹配是不包含S的，所以對於該匹配Bob所到的一定是匹配點，接著Alice一直走非匹配點，Bob只能走到匹配點……
最後一定結束在匹配點，否則會有新的增廣路。
做法肯定能想到暴力刪每個點跑一次，判斷是否為關鍵匹配點。
不過複雜度太爆炸，因此先跑一次最大流得到匹配邊。其中沒有被選的點已經確定為非關鍵匹配點了，它所連出的邊（非匹配邊）所到的另一個集合的點再回到它所在的集合中的匹配點，那這個匹配點一定是非關鍵匹配點（因為可以由它替換）。這個利用dfS配殘量len=1就可以判斷，記得從\(t\)
code
戳我
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e3+5; const int M=1e6+5; const int inf=1e9; char mp[N][N]; int n,m,dir[5][2]={{0,-1},{0,1},{1,0},{-1,0}}; int s,t,dis[M],gap[M],id[N][N],nxt[M],to[M],head[M],len[M],ecnt=1; bool vis[M]; void add_edge(int u,int v,int z) { nxt[++ecnt]=head[u];to[ecnt]=v;len[ecnt]=z;head[u]=ecnt; nxt[++ecnt]=head[v];to[ecnt]=u;len[ecnt]=0;head[v]=ecnt; } queue<int> Q; void BFS() { for(int i=s;i<=t;i++) dis[i]=-1; Q.push(t);gap[dis[t]=0]++; while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) { int v=to[i]; if(dis[v]!=-1)continue; gap[dis[v]=dis[u]+1]++;Q.push(v); } } } int dfs(int u,int flow) { if(u==t) return flow; int used=0; for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) { int v=to[i]; if(len[i]&&dis[u]==dis[v]+1) { int tmp=dfs(v,min(len[i],flow-used)); if(tmp) {len[i]-=tmp;len[i^1]+=tmp;used+=tmp;} if(used==flow)return used; } } --gap[dis[u]]; if(!gap[dis[u]]) dis[s]=t; dis[u]++,gap[dis[u]]++; return used; } int mxflow=0; void ISAP() { for(BFS();dis[s]<t;mxflow+=dfs(s,inf)); } void Build() { int tc=0; s=0;t=n*m+1; for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)id[i][j]=++tc; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) { if(((i+j)&1)&&mp[i][j]=='.') { for(int d=0;d<4;d++) { int x=i+dir[d][0],y=j+dir[d][1]; if(id[x][y]&&mp[x][y]=='.')add_edge(id[i][j],id[x][y],1); } add_edge(s,id[i][j],1); } else add_edge(id[i][j],t,1); } } void dfs1(int u) { vis[u]=1; for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]&&len[i]) dfs1(to[i]); } void dfs2(int u) { vis[u]=1; for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]&&len[i^1]) dfs2(to[i]); } bool ans[N][N]; void solve() { ISAP();dfs1(s); int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) { if(((i+j)&1)&&vis[id[i][j]]&&mp[i][j]=='.') {ans[i][j]=1;cnt++;} vis[id[i][j]]=0; } dfs2(t); for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) { if((i+j)&1)continue; if(mp[i][j]=='.'&&vis[id[i][j]]) {ans[i][j]=1;cnt++;} } printf("%d\n",cnt); for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) { if(ans[i][j]) printf("%d %d\n",i,j); } } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1); Build(); solve(); return 0; }