[WC2018]州區劃分(FWT,FST)
阿新 • • 發佈:2020-07-21
[WC2018]州區劃分(FWT,FST)
題解時間
經典FST。
在此之前似乎用到FST的題並不多?
首先預處理一個子集是不是歐拉回路很簡單,判斷是否連通且度數均為偶數即可。
考慮樸素狀壓dp很容易得到 $ f_{ S } = \sum\limits_{ T \subseteq S } f_{ S - T } \times ( \frac{ val_{ T } }{ val_{ S } } )^{p} $ 。
直接dp時間複雜度 $ 3^{ N } $ 當場去世。
但由於是經典的子集運算,考慮FST。
就是將陣列加一維,只有1的個數對應的一維的該位才有值。
這樣就能保證產生貢獻的集合對不相交。
預處理好 $ val_{ S }^{ p } $ 記作 $ g_{S} $ ,並將其加一維用於FST。
方程變為 $ f[i][S] = \sum\limits_{ j = 1 }^{i}\sum\limits_{ T \subseteq S }\frac{ f[j][T] \times g[i-j][S-T] }{ val_{ S }^{ p } } $ 。
預處理歐拉回路和dp過程都是 $ n^{2} \times \log n $ 。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long lint; struct pat{int x,y;pat(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}bool operator<(const pat &p)const{return x==p.x?y<p.y:x<p.x;}}; template<typename TP>inline void read(TP &tar) { TP ret=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+(ch-'0');ch=getchar();} tar=ret*f; } namespace RKK { const int S=1<<21,N=22; const int mo=998244353; void doadd(lint &a,lint b){if((a+=b)>=mo) a-=mo;} int bcnt(int x){return __builtin_popcount(x);} int lbit(int x){return __builtin_ffs(x);} int inv[5011];void init(){inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=5000;i++) inv[i]=1ll*inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;} int n,m,tp,w[N],mp[N][N]; lint dp[N][S],dg[S]; lint f[S],g[N][S];//城市集合的\sum w,fst為了防止重複要按照1的個數分層 int fa[N];int find(int x){return fa[x]==fa[fa[x]]?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);} int deg[N],lst[N],ln; int check(int s) { ln=0;for(int i=1;i<=n;i++)if((s>>i-1)&1) fa[i]=i,deg[i]=0,lst[++ln]=i; for(int i=1;i<=ln;i++)for(int j=i+1;j<=ln;j++)if(mp[lst[i]][lst[j]]) deg[lst[i]]++,deg[lst[j]]++,fa[find(lst[i])]=find(lst[j]); for(int i=1;i<=ln;i++)if(find(lst[i])!=find(lst[1])||(deg[lst[i]]&1)) return 1; return 0; } void fwtor(lint *a,int len,int tp) { for(int i=1;i<len;i<<=1) for(int j=0;j<len;j+=i<<1) for(int k=0;k<i;++k) doadd(a[j+k+i],~tp?a[j+k]:mo-a[j+k]); } lint cal(lint x) { if(tp==0) return 1; else if(tp==1) return x; else return x*x%mo; } int main() { init();read(n),read(m),read(tp);int ful=1<<n; for(int i=1,x,y;i<=m;i++) read(x),read(y),mp[x][y]=mp[y][x]=1; for(int i=1;i<=n;i++) read(w[i]); for(int s=1;s<ful;s++) f[s]=w[lbit(s)]+f[s^(s&-s)],g[bcnt(s)][s]=check(s)*cal(f[s]); for(int i=1;i<=n;i++) fwtor(g[i],ful,1); dp[0][0]=dg[0]=1; for(int i=0;i<n;i++) { if(i) fwtor(dp[i],ful,-1); for(int s=0;s<ful;s++) dg[s]=(i==bcnt(s))?dp[i][s]*cal(inv[f[s]])%mo:0ll; fwtor(dg,ful,1); for(int j=1;i+j<=n;j++)for(int s=0;s<ful;s++) doadd(dp[i+j][s],dg[s]*g[j][s]%mo); } fwtor(dp[n],ful,-1); printf("%lld\n",dp[n][ful-1]*cal(inv[f[ful-1]])%mo); return 0; } } int main(){return RKK::main();}