每日一題20220410 | Taylor公式、導數、有界性
阿新 • • 發佈:2022-04-13
問:\(f(x):R \rightarrow R\), 3階可導,且\(f(x),f^{\prime\prime\prime}(x)\)有界,證明\(f^\prime(x),f^{\prime\prime}(x)\)有界。
證:\(\forall x_0\in R\), 根據帶Lagrange餘項的Taylor公式,將\(f(x_0+1)\)和\(f(x_0-1)\)在\(x=x_0\)處展開,得到:
\[\begin{align} f(x_0+1)&=f(x_0)+f^\prime(x_0)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_0)+\frac{1}{6}f^{\prime\prime\prime}(x_0+\theta_1),\quad \theta_1:=\theta_1(x_0)\in [0,1]\\ f(x_0-1)&=f(x_0)-f^\prime(x_0)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_0)-\frac{1}{6}f^{\prime\prime\prime}(x_0-\theta_2),\quad \theta_2:=\theta_2(x_0)\in [0,1] \end{align} \]因此 \(f^\prime(x_0)\)
由於 \(\forall x\in R, f(x),f^{\prime\prime\prime}(x)<0\)
根據\(x_0\)的任意性,\(f^\prime(x),f^{\prime\prime}(x)<\infty,\forall x\in R\)。