滑雪場設計

阿新 • • 發佈：2022-04-21

滑雪場設計

農夫約翰的農場上有 $N$ 個山峰，每座山的高度都是整數。

在冬天，約翰經常在這些山上舉辦滑雪訓練營。

不幸的是，從明年開始，國家將實行一個關於滑雪場的新稅法。

如果滑雪場的最高峰與最低峰的高度差大於 $17$，國家就要收稅。

為了避免納稅，約翰決定對這些山峰的高度進行修整。

已知，增加或減少一座山峰 $x$ 單位的高度，需要花費 $x^{2}$ 的金錢。

約翰只願意改變整數單位的高度，且每座山峰只能修改一次。

請問，約翰最少需要花費多少錢，才能夠使得最高峰與最低峰的高度差不大於 $17$。

輸入格式

第一行包含整數 $N$。

接下來 $N$ 行，每行包含一個整數，表示一座山的高度。

輸出格式

輸出一個整數，表示最少花費的金錢。

資料範圍

$1 \leq N \leq 1000$,
資料保證，每座山的初始高度都在 $0 \sim 100$ 之間。

輸入樣例：

輸出樣例：

樣例解釋

最佳方案為，將高度為 $1$ 的山峰，增加 $3$ 個單位高度，將高度為 $24$ 的山峰，減少 $3$ 個單位高度。

解題思路

　　用一個數軸表示山峰的高度。

　　下面證明最終修改完成後，所有山峰的高度都會在$\left[ {0, 100} \right]$這個區間內。最優解中不會存在某個山峰的高度小於$0$或大於$100$。

　　假設最優解中所有山峰的高度都小於$0$，如下圖。我們把所有山峰的高度都變為$0$。

　　對於所有的山峰，它的一開始的高度必然在$\left[ {0, 100} \right]$內的。在最優解中，我們是把這個山峰的高度變為小於$0$的，現在我們把這個山峰的高度變為$0$，可以發現代價變小了。因此我們可以不要把山峰的高度變到最優解的位置，而變到$0$的位置，總代價會變小，並且滿足要求（高度差不超過$17$），因此可以構造出一個更好的方案，就與最優解矛盾了。

　　另外一種情況是最優解中有部分山峰的高度是小於$0$的，如下圖。同樣的，我們把高度小於$0$的山峰變為$0$。

　　對於高度小於$0$的山峰，與上面的分析一樣，變成到$0$後代價會減少，因此可以構造總代價更小的合法方案，就與最優解矛盾了。

綜上所述，不會有任何一個山峰的高度會小於$0$。因此在最優解裡面，所有的山峰的最小值一定大於等於$0$。

　　同理可證，所有的山峰的高度的最大值不會超過$100$（把超過$100$的山峰都變成$100$，發現總代價會變小）。

　　所以在最優解中，所有山峰的高度必然在$\left[ {0, 100} \right]$內。

　　因此我們可以在$\left[ {0, 100} \right]$中，列舉所有長度為$17$的區間，一共有$84$個這樣的區間。

　　對於列舉的每個區間，我們會列舉所有的山峰。

如果某個山峰的高度在這個區間內，那麼這個山峰就不需要修改。
如果某個山峰的高度小於區間的左端點，那麼就需要把這個山峰的高度修改為左端點的大小，這一定會是最小的代價。
如果某個山峰的高度大於區間的右端點，那麼就需要把這個山峰的高度修改為右端點的大小，這一定會是最小的代價。

　　這是因為每個山峰是獨立的，每個山峰的修改都不會影響到其他的山峰。因此如果我們想讓總代價最小，只需要讓每個山峰的代價取到最小。

　　這題的本質是找到一個區間，使得所有的點到這個區間的距離最小。

　　AC程式碼如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N = 1010;
 6 
 7 int a[N];
 8 
 9 int main() {
10     int n;
11     scanf("%d", &n);
12     for (int i = 0; i < n; i++) {
13         scanf("%d", a + i);
14     }
15     
16     int ret = 2e9;
17     for (int i = 0; i + 17 <= 100; i++) {   // 列舉所有長度為17的區間
18         int l = i, r = i + 17, t = 0;
19         for (int j = 0; j < n; j++) {
20             if (a[j] < l) t += (l - a[j]) * (l - a[j]);      // 山峰的高度小於左端點，則變到左端點
21             else if (a[j] > r) t += (a[j] - r) * (a[j] - r); // 山峰的高度大於右端點，則變到右端點
22         }
23         ret = min(ret, t);
24     }
25     
26     printf("%d", ret);
27     
28     return 0;
29 }