題目大意

給定 \(l,r\) ，求 \(\sum_{x=l}^r\sum_{y=l}^r[x+y=x\oplus y]\) 。
其中 \(0 \le l \le r \le 10^9\) 。

分析

首先對於題目中給出的式子，我們可以對它進行一些轉換：

\(\sum_{x=l}^r\sum_{y=l}^r[x+y=x\oplus y]\)
\(=2\sum_{x=l}^r\sum_{y=x+1}^r[x+y=x\oplus y]+\sum_{x=l}^r[x+x=x\oplus x]\)
\(=2\sum_{x=l}^r\sum_{y=x+1}^r[x+y=x\oplus y]+[l=0]\)

將常數省去後，我們發現最主要求的東西其實是 \(\sum_{x=l}^r\sum_{y=x+1}^r[x+y=x\oplus y]\)

對於 \(l \le x < y \le r\) ，求出有多少個 \(x,y\) 滿足這兩個數不存在一個相同的二進位制位上都是 \(1\) 。

然後就很好想到用數位DP來做。在這裡先定義兩個概念：

• 上界：這一位最大能選的數要不要受到前面選的數的約束（即最終選出來的數不能大於 \(r\) ）。
• 下界：這一位最小能選的數要不要受到前面選的數的約束（即最終選出來的數不能小於 \(l\) ）。

定義 \(dp_{pos,up,down,bj}\) 表示當前進行到了 \(pos\) 位，前面選的數有沒有造成上界，有沒有造成下界，前面選出來的數是否使當前的 \(x,y\)

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int t;
ll l,r;
ll dp[40][2][2][2];
int lbj[40],rbj[40];
ll dfs(int pos,int up,int down,int bj){
	if(!pos){
		if(bj)return 0;//如果最終結果x,y相同就返回0
		return 1;
	}
	if(dp[pos][up][down][bj]!=-1)return dp[pos][up][down][bj];
	ll ans=0;
	int lflag=(down?lbj[pos]:0);
	int rflag=(up?rbj[pos]:1);
	for(int x=(bj?lflag:0);x<=rflag;x++){
		for(int y=lflag;y<=(bj?x:1);y++){
			if((x&y)==1)continue;
			if(x==y){
				ans+=dfs(pos-1,up&&x==rflag,down&&y==lflag,bj&1);
			}
			else{
				ans+=dfs(pos-1,up&&x==rflag,down&&y==lflag,bj&0);
			}
		}
	}
	if(dp[pos][up][down][bj]==-1)dp[pos][up][down][bj]=ans;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		for(int i=0;i<=37;i++){
			lbj[i+1]=(l>>i)&1;
		}
		int len=0;
		for(int i=0;i<=37;i++){
			rbj[i+1]=(r>>i)&1;
			if(rbj[i+1]){
				len=i+1;
			}
		}
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		ll ans=dfs(len,1,1,1);
		printf("%lld\n",ans*2+(l==0));
	}
	return 0;
}