今天在AKWING上學了點揹包基礎，簡單記錄一下：

首先，啥是揹包問題？？？

簡單舉個例子，現在你是一個小偷，有一個包用來裝你偷的東西，這個包的容量是有限的，假設你知道每件物品的價值和所佔體積，你現在要決定要裝走一些物品，使帶走的物品價值最高。

這就是所謂的01揹包問題，就是需要考慮權重的求最優解DP問題。

那這道題的思路是什麼呢？

其實跟一般的DP相似（在不考慮優化的基礎上），就是考慮當前狀態的取捨來進行狀態轉移，（對於任意一個物品，你有兩種選擇，要麼選（對應1），要麼不選（對應0）），從而得到問題的最優解

針對DP問題，套上一般思路進行求解：

首先設定變數，一個二維陣列 f[i][j] 代表只考慮 前 i 個物品，體積不超過 j 的狀態的最大值

再建兩個陣列，v[i]和w[i]，分別表示第i個物品的體積和價值

那還有就是狀態計算，像原來一樣，我們還是把狀態分為兩部分來考慮，一是選取第 i 個物品是的最大值，因為不選第 i 個，所以也就是從前 i-1 個物品中選取唄，那就是說： f[i][j] = f[i-1][j]

第二種情況就是選第 i 個物品，那就是前面 i-1個物品的選擇最大值，加上第i個物品的最大值，也就是：f[i][j] = f[i-1][j-vi] + w[i]

還有就是初始化，f[0][i]=0，也就可以省略了

還可以改成一維陣列：（滾動陣列）

如果只用到了 i 和 i-1，那就可直接改成一維的

完全揹包問題：

與01揹包相似，區別就在於01揹包每件物品最多隻能選一次，而完全揹包問題中的每個物品都有無數件

狀態表示：依舊是所有隻考慮前 i 個物品，且總體積不大於 j 的所有選法

狀態計算：將其分為若干組，第i個物品選0個，選1個，選2個。。。選k個

選0個：f[i][j]=f[i][j-1]

其他的：1.去掉n個物品i

2求max,3.再加回來n個物品i的值。

即：f[i,j]=f[i-1,j-v[i]*n]+w[i]*n

f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*n]+w[i]*n)

f[i,j-v[i]]=max(f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*n]+w[i]*n)

所以：f[i,j]=max(f[i-1,j] , f[i-1,j-v[i]]+w[i] ]，直接少了一層列舉n的迴圈。

多重揹包問題：（有有限數量的件數）

狀態表示與原來一樣

狀態計算也與完全揹包差不多：（設s[i]為第i個物品的數量）

f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*s[i]]+w[i]*s[i])

f[i,j-v[i]]=max(f[i-1,j-v[i]*1]+w[i]*1,f[i-1,j-v[i]*2]+w[i]*2,f[i-1,j-v[i]*3]+w[i]*3+......+f[i-1,j-v[i]*(s[i]+1)]+w[i]*(s[i]+1))

多了一項s[i]+1，無法和完全揹包使用一樣的優化方法

轉換方法：二進位制轉換

比如說有1023個物品i

將其劃分為若干組：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512

再比如有200個物品i

將其劃分成1，2，4，8，32，64，73

此時從0到s[i]之間任意的數都能用他們相加表示出來：

分組揹包問題：

有若干組，每組裡有若干件物品，要求每組最多選一個，使得價值最大且不超過揹包限制

狀態表示：只從前i組物品中選，且總體積不大於j的所有選法最大值