費馬小定理

內容

如果存在一個質數 \(p\)，保證 \(\gcd(a,p)=1\)，則有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)
也就是說，對於一個質數 \(p\)，除了這個質數的倍數之外的所有數 \(a\) 都滿足 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)

證明

假設有一個質數 \(p\) 與一個與 \(p\) 互質的數 \(a\)。
首先構造一個序列： \(A=\left\{ a,2 \times a,3 \times a,4 \times a,\dots,(p-2) \times a,(p-1) \times a \right\}\)，即 \(A_i = i \times a\)

因為已知 \(\gcd(a,p)=1\)
所以易得在 \(A\) 中的任意兩個元素不在模 \(p\) 意義下同餘。
而且因為 \(A\) 中所有元素不與 \(0\) 同餘，
所以 \(A\) 中元素必然在模 \(p\) 意義下分別與 \(a,2,3,\dots,p-2,p-1\) 同餘。
把這些同餘式乘起來，得到：$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \times a^{p-1} \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \pmod{p}$$
兩邊同時減去 \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1)\) 可得：$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1) \times \left( a^{p-1}-1 \right) \equiv 0 \pmod{p}$$
因為前面這一串 \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot(p-1)\) 均不與 \(0\) 在模 \(p\) 意義下同餘，所以 \(a^{p-1}-1\) 必然與 \(0\) 在模 \(p\) 意義下同餘。
即 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)
得證。