集合交集問題的安全計算：解讀
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摘要
要點：
（1）集合的勢：交/並集個數
（2）該文主要討論三點：
- 集合的勢與閾值的大小關係
- 集合的交/並集與元素的包含關係
- 集合的交/並集的判定
（3）模擬範例：是安全性證明的方法
引言
首先給出三個場景，依次分析一下：
（1）全部領導集合Q，全部員工集合P，員工滿意領導的集合X，現想確定X中的數量大於閾值t
（2）使用者信用判斷（多個指標），每個機構P（一個指標）都有一個信用合格的使用者名稱單X，現想確認一個使用者是否在所有名單中X，即求一個元素是否在交集中。
（3）所有員工名單A，每個機構P（一個使用者的信用指標）都有一個信用合格的使用者名稱單X，現想判斷A是否都在X的交集中，即一個集合是否在交集中。
下面也是主要分為這三塊介紹。
預備知識
安全性定義
模擬範例文中說參考：【Brief Report: Examining Driving Behavior in Young Adults with High Functioning Autism Spectrum Disorders:A Pilot Study Using a Driving Simulation Paradigm】，看著名字不像是安全性分析，倒是一個具體的場景實現。
這裡是給出半誠實參與的安全性證明，模擬器的輸入和輸出與真實情況下是不可取分的，即在半誠實安全。
門限密碼
門限密碼體制是MPC中對抗合謀攻擊的一個重要工具。
在門限密碼體制中, n 個參與者 聯合生成公鑰, 解密金鑰由 n 個參與者聯合持有. 公鑰可以直接加密訊息, 但解密需要 n 個參與者中一定 數量人員參與才能正確解密，即如果至少需要 t 個人參與才能解密, 少於 t 個人時無法獲取明文的任何資訊,這樣的密碼體制稱為 (t, n) 門限密碼體制。
本文需要的是 (n, n) 門限密碼體制。
給出ELGamal的一個變體，是門限密碼：
（1）金鑰生成和ElGamal類似，n個私鑰\(k_i\)（每人一個），一個公鑰\(h\)
（2）加密是和ElGamal一樣的，密文是兩部分
（3）解密，是需要所有人的私鑰才能解密成功
（4）具有“加法同態性”：\(E(m_1)E(m_2)=E(m_1+m_2)\)，其實是密文相乘解密後相當於明文相加，當然這也算是具有同態性。
（5）這裡的小素數$\rho $就是門限，有沒有想到離散對數問題。
密文重隨機化
主要是因為：在下面加密選擇和保密替換中，使用者可能會通過觀察\(M\)，判讀出上一個使用者改變了什麼，（透露出一些資料資訊），所以需要對\(M\)
集合的勢與閾值的大小關係
交集
換成標準形式是：
可以看到，目的就是判斷交集的大小與閾值的大小關係。
原理
- 這裡的閾值\(t\in Q\)，\(t\)和\(Q\)按說是沒啥關係吧？\(t\)就是一個數。
- 還有這裡的\(Q\)有\(l\)個元素，每個集合\(X\)也有\(l\)個元素，這個怎麼搞？
按自己的意思舉個例子理解一下：
Q=(1,2,3,4,5)
P1：X1=(1,2,3)
P2：X2=(2,3,4)
P3：X3=(3,4,5)
Alice：t=2
對於P1：M1=（1，1，1，0，0）
對於P2：M2=（0，1，1，0，0）
對於P3：M3=（0，0，1，0，0）
L=0+0+1+0+0=1
L-t<0，即輸出為0
上面沒有加入加密，沒有安全性可言，下面加入加密：
方案
注意：
（1）Alice將\(-t\)加密\(E(-t)\),傳送給\(P_n\)
（2）\(P_n\)將\(E(M_n)\)中的元素逐個相乘得到\(E(L)\)，然後再將\(E(L)\)和\(E(-t)\)相乘得到\(E(F)\)，最後將\(E(F)\)隨機化，得到\((u,v)\)，並公佈\(u\)，
（3）Alice和n個使用者都是參與者，所以有\(n+1\)個私鑰\(k_i\)
（4）Alice和(n-1)和使用者各自計算\(t_i=u^{k_i}\)
（5）\(P_n\)解密，這裡需要聯合解密（n+1個參與者）
（6）注意這裡\(E(-t)*E(L)=E(L-t)\)（別忘了加法同態性！）
正確性和安全性分析
後面補充吧，先弄懂方案。
並集
這裡改成並集，即求並集的大小與閾值的大小關係：
該部分內容和前面幾乎相同，只需對交集協議中的（3）步進行簡單修改:
方案
注意：
（1）這裡的“保密替換”和交集相反。
正確性和安全性
參考交集
集合的交/並集與元素的包含關係
交集
該部分內容判斷元素與集合交 集的關係：
具體如下：
原理和前面介紹的前 3 步相同，只需修改第 (4) 步和第 (5) 步：
原理
正確性和安全性
這部分可不是模擬範例證明的！
並集
目的：
方案
集合的交/並集的判定
交集
目的：想要判斷一個集合是否在交集中
具體說：
原理
其就是就是將Alice也看作是一個參與者，最後求出交集的長度，與Alice集合的長度比較。
具體協議如下：
注意：
（1）這裡是Alice解密，\(P_i\)聯合計算出\(t_i\)（n個）
正確性和安全性
並集
目的：
原理
效能
從計算和通訊消耗來看：
計算
通訊
總結
以上協議的模指數運算依賴參與者的數量 n 和全集的勢 l, 因此協議執行時間受參與者的數量 n 和全集的勢 l 影響.