區間選點：https://www.acwing.com/problem/content/907/
最大不相交區間數：https://www.acwing.com/problem/content/910/

題目描述

給定 N 個閉區間 [ai,bi]，請你在數軸上選擇儘量少的點，使得每個區間內至少包含一個選出的點。
輸出選擇的點的最小數量。
位於區間端點上的點也算作區間內。

輸入描述

第一行包含整數 N，表示區間數。
接下來 N 行，每行包含兩個整數 ai,bi，表示一個區間的兩個端點。

輸出描述

輸出一個整數，表示所需的點的最小數量。
1≤N≤105
−109≤ai≤bi≤109

示例

輸入

3
-1 1
2 4
3 5

輸出

2

分析

演算法過程

本題演算法過程如下：

1. 將每個區間按照右端點從小到大進行排序。
2. 從前往後列舉區間，end值初始化為無窮小，之後：
   • 如果本次區間不能覆蓋掉上次區間的右端點， end < range[i].l
     說明需要選擇一個新的點， ans++ ; end = range[i].r;
   • 如果本次區間可以覆蓋掉上次區間的右端點，則進行下一輪迴圈。

證明

ans代表滿足題意的點數的最小值。證明如下：

• 證明ans<=cnt ：cnt 是一種可行方案， ans是可行方案的最優解，也就是最小值。
• 證明ans>=cnt ： cnt可行方案是一個區間集合，區間從小到大排序，兩兩之間不相交，要想覆蓋這cnt個區間必然需要cnt個點。

因此，ans=cnt。

推廣

區間選點問題可以推廣應用於最大不相交區間數問題。
滿足條件的最少選點數=最大不相交區間數
按照我們選點的原則，一個點就代表著幾個相交的區間。

AC程式碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> P;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
P range[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		range[i].first = r;
		range[i].second = l;
	}
	sort(range, range + n);
	int ans = 0;
	int r = -1e9 - 10;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (range[i].second > r)
		{
			ans++;
			r = range[i].first;
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}