引入

一個小知識，稍微學一下

其實 prufer 序列就是一種將帶標號的樹用一個唯一的整數序列表示的方法.

（小知識 prüfer 是德語，所以應該讀作/程式碼裡應該寫作 pruefer）

定義

每次選擇一個編號最小的葉結點並刪掉它，然後在序列中記錄下它連線到的那個結點。重複 \(n-2\) 次後就只剩下兩個結點

終わった！很簡單的啦（

小性質

1. 是一個雙射（一一對應）
2. 在構造完 prufer 序列後原樹中會剩下兩個結點，其中一個一定是編號最大的點
3. 每個結點在序列中出現的次數是其度數減 \(1\)（沒有出現的就是葉結點）

程式碼

程式碼也很好實現（看程式碼就看得懂吧，反正部落格是給自己看的（bushi）（

這個是 \(O(n\log n)\) 的做法，有 \(O(n)\) 的做法，可惜我不會.

int n,m;
int fa[N],pf[N],deg[N];
void t_to_p() //父親序列轉 prufer 序列
{
	int cnt=0;
	for(int i=1; i<n; i++) deg[fa[i]]++; //記錄節點的度
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q; //用堆維護
	for(int i=1; i<=n; i++) if(deg[i]==0) q.push(i);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.top(); q.pop();
		pf[++cnt]=fa[u]; deg[fa[u]]--; if(deg[fa[u]]==0) q.push(fa[u]);
	} //每次把編號最小的葉子結點取出來，更新prufer序列，然後如果原來的父親成為葉子，再加進去
}

void p_to_t() // prufer 序列轉父親序列
{
	for(int i=1; i<=n; i++) deg[i]=1;
	for(int i=1; i<=n-2; i++) deg[pf[i]]++; //根據性質，可以求出節點的度
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q; //用堆維護
	for(int i=1; i<=n; i++) if(deg[i]==1) q.push(i);
	int t=1; pf[n-1]=n;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.top(); q.pop();
		fa[u]=pf[t],t++;
		deg[u]--,deg[fa[u]]--;
		if(deg[fa[u]]==1) q.push(fa[u]);
	} //每次取出編號最小的度數為1的點，然後連向它的父親（
}
 

小應用

例子1

完全圖生成樹個數（無標號）（Cayley 公式）

\(n\) 個點，prufer 序列有 \(n^{n-2}\) 種，所以生成樹個數也是這個.

完全圖生成樹個數（有標號）

\(n^{n-2}\cdot n!\) （不然呢？不就是加個順序

例子2

[HNOI2004]樹的計數

一個有 \(n\) 個節點的樹，設它的節點分別為 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) ，已知第 \(i\) 個節點 \(v_i\) 的度數為 \(d_i\)，問滿足這樣的條件的不同的樹有多少棵.

題解：prufer序列中，每個節點出現的次數是 \(d_i-1\)，所以其實就是一個可重集排列，答案為 \(\displaystyle\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n (d_i-1)!}\)

有一些特判，\(n=1\) 的時候要特判，有度數為零的要特判，度數加起來不等於 \(2n-2\) 要特判