343. 整數拆分

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/integer-break

題目

給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，並使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。

示例 1:

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
說明: 你可以假設 n 不小於 2 且不大於 58。

解題思路

思路：推導

這裡，我們用數學推導的方法，來嘗試解決這個問題。先審題，題目中要我們將數字 n 進行拆分，然後求拆分後數字乘積最大值。這裡需要注意：題目中說明 n 至少拆分為兩個正整數。

由前面所述的題意，我們可知，目前的問題就是如何拆分，才能使得乘積最大？這裡舉個例子，若將 1 個數拆分為 2 個數求乘積（均為正整數），我們知道，拆分的兩個數字越接近，那麼乘積會越大。比較符合前面這段話的有：求矩形面積。我們知道，矩形當中，正方形面積最大。

那麼，我們先按照這個思路往下思考（後續在推導）。前面舉例說的拆分為 2 個數字，這道題當中說的是至少兩個正整數，那麼按照前面所得出的推論，將數字 n 進行拆分，可能會出現以下情況：

• 數字 n 進行拆分時，不一定均分（因為題目要的拆分之後還是正整數）
• 當上面的情況一定存在時，那麼將數字 n 進行拆分時，拆分的數字應該為多少最合適。

上面的情況中，第一種比較好理解。第二種情況，這裡舉個例子，例如給定的數字 n 為 6，那麼：

# ans 在這裡表示乘積
n = 6 = 3 + 3
ans = 3 * 3 = 9

或者

n = 6 = 2 + 2 + 2
ans = 2 * 2 * 2 = 8

上面都是將數字 n 拆分為相同的正整數，只是拆分數量不同，但是兩者的乘積會有差距。那麼這裡也就還有個問題，將給定的數字 n 進行拆分時，要拆分為哪個正整數，最終的乘積為最大。

由前面的分析，我們知道，現在的主要的問題有兩個：

1. 如何證明拆分的數字相等，乘積最大？
2. 數字 n 拆分為哪個數字，最終的乘積最大？

先看第一個問題，這裡直接引用 "算術-幾何均值不等式"，公式如下：

$$
\frac{x_1+x_2+...+x_a}{a} \geq \sqrt[a]{x_1x_2...x_a}
$$

上面的式子中，當且僅當 $x_1=x_2=...=x_a$ 的時候，等號成立。

這裡，我們得到：當確定拆分數量 a，那麼拆分的數字相同時，乘積最大。

現在看第二個問題，根據前面的結論，設拆分數量為 a，拆分數字為 x，也即是 n=ax，那麼乘積為 $x^a$。現在，則是要求得什麼情況下 $x^a$ 取得最大值？證明如下：

• 對 $x^a$ 公式進行轉換

$$
x^a = x^{{\frac{n}{x}}=(x}{\frac{1}{x}})^{n}
$$

在這裡，n 為常數且不小於 2，那麼冪函式中，此時，底數越大，值越大。也就是要求得 $x^{\frac{1}{x}}$ 的最大值。

• 那麼現在的問題就是要求得 $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ 的最大值。先對兩邊取對數：

$$
ln(f(x)) = \frac{1}{x}lnx
$$

• 再對兩邊進行求導：

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{f(x)}·f^{{\prime}(x)&=(\frac{1}{x})}{\prime}lnx + \frac{\frac{1}{x}}{x}·(x)^{\prime} \
f^{{\prime}(x)&=\left[(\frac{1}{x})}{\prime}lnx + \frac{\frac{1}{x}}{x}·(x)^{\prime}\right]·f(x)\
f^{{\prime}(x)&=\left[-\frac{1}{x}2}lnx+\frac{1}{x^2}\right]·x{\frac{1}{x}}\
f^{{\prime}(x)&=\frac{1-lnx}{x}2}·x^{\frac{1}{x}}
\end{aligned}
$$

• 令 $f^{\prime}(x)=0$，也就是 $1-lnx=0$，那麼此時，可得臨界點為：$x=e$。現在此時 $x$ 是否是極值：

$$
f^{\prime}=
\begin{cases}
值大於 0，x\in[-\infty, e) \
值小於 0，x\in(e, +\infty]
\end{cases}
$$

由此可以判斷 $x=e$ 時，取得極大值。我們知道自然常數 $e$ 約等於 2.7。題目要求拆分的是正整數，那麼我們將 2 和 3 分別代入函式 $f(x)$ 當中，得：

$$
\begin{aligned}
f(2)=2^{\frac{1}{2}}\approx 1.41 \
f(3)=3^{\frac{1}{3}}\approx 1.44
\end{aligned}
$$

我們可以看到當 x 取 3 的時候，乘積達到最大。

現在上面提出的兩個問題已經得以證明。但還有一個需要注意的，前面提到的情況中，提及拆分的時候可能出現不均分的情況。

現在確定拆分的數字為 3 的情況下，乘積可取最大值。那麼此時拆分的時候，可能出現的餘數會有 0，1，2。現在就這個情況下，逐個分析（下面的情況是針對 n > 3 的情況），令 n = ax + b，x 確定取 3，值可最大，也就是 n = 3a + b，那麼會出現的情況如下：

• b = 0，表示均分，此時直接返回 3^a；
• b = 1，這裡需要注意。這裡需要重新合併拆分，當剩下 1 時，3 x 1 < 2 x 2，所以將其中一個 3 與餘數 1，重新結合拆分為 2 和 2，那麼最終返回 3^(a-1) x 2 x 2；
• b = 2，返回 3^a x 2。

這裡在說下 n <= 3 的情況，不拆分的結果更優。當時題目要求必須拆分至少兩個整數，那麼此時拆出一個數值 1，那麼最終返回 n - 1。

具體的程式碼實現如下。

程式碼實現

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        # 先處理 n 小於或等於 3 的情況
        if n <= 3:
            return n-1
        
        # 先拆分，確定數量以及餘數
        a = n // 3
        b = n % 3

        # 這裡呼叫 math.pow() 方法，該方法呼叫底層 c 庫的 pow 函式，效率更高
        import math
        # 均分直接返回 3^a
        if b == 0:
            return int(math.pow(3, a))
        elif b == 1:
            return int(math.pow(3, a-1) * 4)
        # 剩下就是餘 2 的情況
        return int(math.pow(3, a) * 2)

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