篩質數的核心思想：

先把所有數放進一個數組

然後從前往後看，把每一個數的倍數刪掉

第一個數是2，就把所有2的倍數刪掉，4，6，8，10，12

第二個數是3，就把所有3的倍數刪掉，6，9，12

第二個數是4，就把所有4的倍數刪掉，8，12

第二個數是5，就把所有5的倍數刪掉，10

以此類推

這樣篩完之後，所有剩下的數就是質數

證明：對於任何一個數p而言，如果p沒有被刪掉的話，就意味著從2到p - 1中的任何一個數，都沒有把p刪掉

說明p不是2到p - 1中間任何一個數的倍數，也即2到p - 1中間不存在p的約數，所以p是一個質數

質數定理：1 ~n中，有n / ln (n)個質數

線性篩：

 1
 
 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 1000010;
 4 int primes[N], cnt;
 5 bool st[N];
 6 void get_primes_1(int n) {
 7     //樸素篩法，時間複雜度近似O(n log n)
 8     for (int i = 2; i <= n; i++) { //從2到n列舉
 9         if (!st[i]) { //如果這個數沒有被篩過的話,說明是一個質數
10             primes[cnt++] = i;
 
11         }
12         //再把每一個數的倍數刪掉
13         for (int j = i + i; j <= n; j += i) { //最樸素方法
14             st[j] = true;
15         }
16     }
17 }
18 void get_primes_2(int n) {
19     //埃氏篩法，時間複雜度O(n log log n),近似O(n)
20     for (int i = 2; i <= n; i++) { //從2到n列舉
21         if (!st[i]) { //如果這個數沒有被篩過的話,說明是一個質數
 

22             primes[cnt++] = i;
23             for (int j = i + i; j <= n; j += i) { //最樸素方法
24                 st[j] = true;
25             }
26         }
27         //並不需要把每一個數的倍數刪掉，只把所有質數的倍數刪掉就可以了
28         //可以把迴圈放進判斷裡面去
29     }
30 }
31 void get_primes_3(int n) {
32     //線性篩法的基本思路也是一樣的：爭取把每個合數，用它的某一個質因子篩掉
33     /*
34         線性篩法的核心思路：每一個合數，只會被它的最小質因子篩掉
35     */
36     //線性篩法，時間複雜度O(n)
37     for (int i = 2; i <= n; i++) { //從2到n列舉
38         if (!st[i]) { //如果是一個質數的話
39             primes[cnt++] = i; //加進去
40         }
41         //從小到大列舉所有質數
42         for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
43             st[primes[j] * i] = true;
44             if (i % primes[j] == 0) { //當這句話成立時，就意味著primes[j]一定是i的最小質因子
45                 break;
46             }
47         }
48     }
49 }
50 /*
51     當n = 1e6時，埃氏篩法和線性篩法執行時間差不多
52     當n = 1e7時，線性篩法比埃氏篩法快一倍
53 */
54 int main() {
55     int n;
56     cin >> n;
57     get_primes_3(n);
58     cout << cnt << endl;
59     return 0;
60 }