基本定義

質數，也稱素數，是指在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數。

一、試除法

簡單而暴力，檢視\(i(2\leq i\leq N)\)是否整除\(n,\)時間複雜度為\(O(sqrt(n))，\)相對來說比較低效

bool is_prime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
        if (n % i == 0) return false;
    return true;
}

二、埃式篩法

全稱埃拉託斯特尼篩法\(（Eratosthenes篩法）\)

int Eratosthenes(int n) {
	int w = 0;
	for (int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = 1;
	is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	    if (is_prime[i]) {
	    	prime[w++] = i;
	    	//2到i - 1的倍數我們之前篩過了，直接從i的倍數開始，提高了執行速度
	    	for (int j = i * i; j <= n; j += i)
	    		is_prime[j] = 0;
	    }
	return w;
}
 

三、尤拉篩法

能夠讓所有合數只被標記一次，時間複雜度被降到\(O(n)\)。
同時，可以利用尤拉篩法順帶求出尤拉函式。

void init() {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
	    if (!vis[i]) {
	    	phi[i] = i - 1;
	    	pri[cnt++] = i;
	    }
	    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
			if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break; // 關鍵地方，保證了每個數最多被篩一次，將時間複雜度降到了線性。 
			vis[i * pri[j]] = 1;
			if (i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
			else { //  i 之前被 pri[j] 篩過了
				//  i 乘上其他的質數的結果一定會被 pri[j] 的倍數篩掉，所以這裡直接 break 掉就好了
				phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
				break;
			}
	    }
	}
}