題目

Description

在一個圓形操場的四周擺放N堆石子,現要將石子有次序地合併成一堆.規定每次只能選相鄰的2堆合併成新的一堆，並將新的一堆的石子數，記為該次合併的得分。

試設計出一個演算法,計算出將N堆石子合併成1堆的最小得分和最大得分。

Input

資料的第1行是正整數N，表示有NN堆石子。

第2行有N個整數，第i個整數a_i表示第i堆石子的個數。

Output

輸出共2行，第1行為最小得分，第2行為最大得分。

Sample Input

4
4 5 9 4

Sample Output

43
54

思路

有一道很類似的題:

最小代價樹

首先這是一道經典的dp題；

那麼d[i][j]表示i-j的最小代價，sum[i][j]是i-j每個石頭的代價；

答案就是dp[1][n]了;

那麼每一次合併i-j就需要加上i-j的權值代價；

dp[1][3]=min(dp[1][1]+dp[2][3]+sum[1][3],dp[1][2]+dp[3][3]+sum[1][3]);

所以我們需要列舉斷開的位置k，i-j的合併就是i-k的合併加上k+1-j的合併再加上代價；

所以轉移方程就是：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);

（sum是字首和；）

然後枚舉len長度，i起點，k斷開的位置；

為什麼不是先列舉i起點，在列舉j終點呢？

for(ll i=1;i<=n;i++)

for(ll j=i+1;j<=n;j++）

for(ll k=i;k<j;k++）

假如求出dp[1][2],然後列舉到dp[1][3]=dp[1][1]+dp[2][3] ；

然鵝dp[2][3]還未求出，所以我們需要列舉區間長度；

從區間長度小列舉到區間長度大，這樣算長度大的區間時，訪問小區間，小區間就有答案；

所以要列舉len長度，i起點，k斷開的位置；

那麼求最大值則反之；

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long
 
 ll;
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
ll n;
ll dp[2001][2001],f[2001][2001];
ll a[2001],s[2001];
int main()
{
    n=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read();
        a[i+n]=a[i];//破環成列 
    }
    for(ll i=1;i<=n*2;i++)//計算字首
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    for(ll len=2;len<=2*n;len++)//列舉區間長度，len=1沒什麼意義額
    for(ll i=1;i<=2*n-len+1;i++)
    {
        ll j=i+len-1;
        for(ll k=i;k<j;k++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);//轉移方程
        f[i][j]=1<<30;//因為答案是求最小值，但是陣列一開始都為0，答案也會為0，所以我們需要統計時改為最大值
        for(ll k=i;k<j;k++)
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);//轉移方程
    }
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)//因為是環所以要列舉每個n長度的區間 
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    ll answer=1<<30;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        answer=min(answer,f[i][i+n-1]);
    printf("%lld\n%lld\n",answer,ans);
}