AcWing 327. 玉米田(狀態壓縮動態規劃)
題目描述
農夫約翰的土地由\(M \times N\) 個小方格組成,現在他要在土地裡種植玉米。
非常遺憾,部分土地是不育的,無法種植。
而且,相鄰的土地不能同時種植玉米,也就是說種植玉米的所有方格之間都不會有公共邊緣。
(注意:這裡是上下左右邊緣,不是兩斜對角邊緣)
現在給定土地的大小,請你求出共有多少種種植方法。
土地上什麼都不種也算一種方法。
輸入格式
第\(1\)行包含兩個整數\(M\)和\(N\)。
第\(2 \dots M+1\)行:每行包含\(N\)個整數\(0\)或\(1\),用來描述整個土地的狀況,\(1\)表示該塊土地肥沃,\(0\)表示該塊土地不育。
輸出格式
輸出總種植方法對\(100000000\)
資料範圍
\[1 \le M,N \le 2 \]
輸入樣例:
2 3
1 1 1
0 1 0
輸出樣例:
9
演算法解析
配合演算法進階課y總講解視訊使用更佳。
演算法構造
經典的棋盤型狀態壓縮動態規劃,我們可以按照之前Acwing上P1064小國王的思路,處理本題。
首先,我們需要明確,題目的要求:
- 統計方案數
- 有些土地不能種植
狀態設計
首先,我們得明確狀態是什麼。
我們這個狀態,肯定是要統計方案數。
我們這個狀態,必然需要表示每一行土地種植的狀態。
因此得到:
\[f[i][s]表示已經種植前i行,且第i行種植的狀態為s的方案數 \]
狀態轉移
題目的限制條件,其實就是我們轉移的限制條件。
我們知道,這裡是十字形的禁止種植,也就是上下左右不能有相鄰的兩棵玉米。
那麼怎麼判斷呢?
如果說我們把\(1\)表示這個地方種植玉米,\(0\)表示不種植
\[S=1110 \quad 1,2,3這三個地方種玉米,第四個地方不種植玉米 \]
對於一行而言,不能種植相鄰的玉米。
即:
對於一行而言,不能有相鄰的\(1\)
\[S=1110 \quad 是不合法的狀態 \]
對於相鄰的兩行而言,不能在同一列都種植玉米
\[a=1010 \\\\ b=1000 \\\\ 這是不可以的,在第一個位置會出現上下矛盾 \]
那麼我們可以轉化為:
\[a \& b==0 \]
最後,對於題目中的土地不能種植,我們可以認為。
\[如果第i行的狀態為s,那麼荒廢土地處不能有1 \]
我們可以設計一個數組:
\[g[i]表示第i行不能種植土地的狀態 \\\\ g[1]=1011 \quad 表示第一行,第一個,第三個,第四個位置不能種植玉米 \]
總而言之
\[第i行的狀態為s \\\\ 那麼s \& g[i]==0 \]
程式碼解析
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=13,Mod=100000000;
vector<int> state,head[1<<N];
int n,m,x,f[14][1<<N],g[N];
inline bool check(int x)//快速判斷有沒有相鄰的1
{
return !(x&x>>1);
}
inline void init()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
for (int j=1; j<=m; j++)
{
scanf("%d",&x);
g[i]+=(!x<<(j-1));//荒廢土地是0,我們在這裡轉換為1
}
for(int i=0; i<(1<<m); i++)
if (check(i))//這個狀態不存在種植左右相鄰的玉米
state.push_back(i);
for(int i=0; i<state.size(); i++)
for(int j=0; j<state.size(); j++)
if (!(state[i] & state[j]))//i對應的狀態和j對應的狀態沒有在同一列種植玉米
head[i].push_back(j);
f[0][0]=1;
for(int i=1; i<=n+1; i++)
for(int a=0; a<state.size(); a++)
{
if (state[a] & g[i])//在第i行,狀態a是否滿足在荒廢土地沒有種植玉米
continue;
for(int b=0; b<head[a].size(); b++)//從上一行b對應的狀態,轉到本行a對應的狀態
f[i][a]=(f[i][a]+f[i-1][head[a][b]])%Mod;
}
printf("%d\n",f[n+1][0]);//表示第n+1行什麼都沒種植的狀態,其實就是累加f[n][S]
}
signed main()
{
init();
return 0;
}