二分查詢的實際應用
一、什麼是二分查詢？
二分查詢針對的是一個有序的資料集合，每次通過跟區間中間的元素對比，將待查詢的區間縮小為之前的一半，直到找到要查詢的元素，或者區間縮小為0。
二、驚人的查詢速度 O(logn)
我們假設資料大小是 n，每次查詢後資料都會縮小為原來的一半，也就是會除以 2。最壞情況下，直到查詢區間被縮小為空，才停止。
可以看出來，這是一個等比數列。其中 n/2k=1 時，k 的值就是總共縮小的次數。而每一次縮小操作只涉及兩個資料的大小比較，所以，經過了 k 次區間縮小操作，時間複雜度就是 O(k)。通過 n/2k=1，我們可以求得 ，所以時間複雜度就是 O(logn)。
除了二分查詢，後面還會遇到的 堆、二叉樹的操作，它們時間複雜度也是 O(logn)。這裡就再深入地講講 O(logn) 這種對數時間複雜度。這是一種極其高效的時間複雜度，有的時候甚至比時間複雜度是常量級O(1) 的演算法還要高效。為什麼這麼說呢？
因為 logn 是一個非常“恐怖”的數量級，即便 n 非常非常大，對應的 logn 也很小。比如 n 等於 2 的 32 次方，這個數很大了吧？大約是 42 億。也就是說，如果我們在 42 億個資料中用二分查詢一個數據，最多需要比較 32 次。
我們前面講過，用大 O 標記法表示時間複雜度的時候，會省略掉常數、係數和低階。對於常量級時間複雜度的演算法來說，O(1) 有可能表示的是一個非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量級時間複雜度的演算法有時候可能還沒有O(logn) 的演算法執行效率高。
反過來，對數對應的就是指數。指數時間複雜度的演算法在大規模資料面前是無效的。
三、二分查詢的遞迴與非遞迴實現
最簡單的情況就是有序陣列中不存在重複元素，使用二分查詢值等於給定值的資料。程式碼如下：
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) / 2;
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}著重強調一下容易出錯的 3 個地方。
- 迴圈退出條件：注意是 low<=high，而不是 low<high
- mid 的取值：mid=(low+high)/2 這種寫法是有問題的。因為如果 low 和 high 比較大的話，兩者之和就有可能會溢位。改進的方法是將 mid 的計算方式寫成 low+(high-low)/2。更進一步，如果要將效能優化到極致的話，我們可以將這裡的除以 2 操作轉化成位運算 low+((high-low)>>1)。因為相比除法運算來說，計算機處理位運算要快得多。
- low 和 high 的更新：low=mid+1，high=mid-1。注意這裡的 +1 和 -1，如果直接寫成 low=mid 或者 high=mid，就可能會發生死迴圈。比如，當 high=3，low=3 時，如果 a[3] 不等於value，就會導致一直迴圈不退出。
結合以上三點用遞迴實現，程式碼如下：
// 二分查詢的遞迴實現
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
if (low > high) return -1;
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
} else {
return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
}
}
四、二分查詢應用場景的侷限性
二分查詢的時間複雜度是 O(logn)，查詢資料的效率非常高。不過，並不是什麼情況下都可以用二分查詢，它的應用場景是有很大侷限性的。那什麼情況下適合用二分查詢，什麼情況下不適合呢？
- 首先，二分查詢依賴的是順序表結構，簡單點說就是陣列。
二分查詢只能用在資料是通過順序表來儲存的資料結構上。如果你的資料是通過其他資料結構儲存的，則無法應用二分查詢。
- 其次，二分查詢針對的是有序資料。
二分查詢對這一點的要求比較苛刻，資料必須是有序的。如果資料沒有序，我們需要先排序。前面章節裡我們講到，排序的時間複雜度最低是 O(nlogn)。所以，如果我們針對的是一組靜態的資料，沒有頻繁地插入、刪除，我們可以進行一次排序，多次二分查詢。這樣排序的成本可被均攤，二分查詢的邊際成本就會比較低。
但是，如果我們的資料集合有頻繁的插入和刪除操作，要想用二分查詢，要麼每次插入、刪除操作之後保證資料仍然有序，要麼在每次二分查詢之前都先進行排序。針對這種動態資料集合，無論哪種方法，維護有序的成本都是很高的。
所以，二分查詢只能用在插入、刪除操作不頻繁，一次排序多次查詢的場景中。針對動態變化的資料集合，二分查詢將不再適用。那針對動態資料集合，如何在其中快速查詢某個資料呢？二叉樹那節會講到。
- 再次，資料量太小不適合二分查詢。
資料量很小時，順序遍歷就足夠了，完全沒有必要用二分查詢。只有資料量比較大的時候，二分查詢的優勢才會比較明顯。
有一個例外。如果資料之間的比較操作非常耗時，不管資料量大小，都推薦使用二分查詢。比如，陣列中儲存的都是長度超過 300 的字串，如此長的兩個字串之間比對大小，就會非常耗時。我們需要儘可能地減少比較次數，而比較次數的減少會大大提高效能，這個時候二分查詢就比順序遍歷更有優勢。
- 最後，資料量太大也不適合二分查詢。
二分查詢的底層需要依賴陣列這種資料結構，而陣列為了支援隨機訪問的特性，要求記憶體空間連續，對記憶體的要求比較苛刻。比如，我們有 1GB 大小的資料，如果希望用陣列來儲存，那就需要 1GB 的連續記憶體空間。
注意這裡的“連續”二字，也就是說，即便有 2GB 的記憶體空間剩餘，但是如果這剩餘的 2GB 記憶體空間都是零散的，沒有連續的 1GB 大小的記憶體空間，那照樣無法申請一個 1GB 大小的記憶體空間，那照樣無法申請一個 1GB 大小的陣列。而我們的二分查詢是作用在陣列這種資料結構之上的，所以太大的資料用陣列儲存就比較吃力了，也就不能用二分查找了。
五、如何在 1000 萬個整數中快速查詢某個整數？
我們的記憶體限制是 100MB，每個資料大小是 8 位元組，最簡單的辦法就是將資料儲存在陣列中，記憶體佔用差不多是 80MB，符合記憶體的限制。我們可以先對這 1000 萬資料從小到大排序，然後再利用二分查詢演算法，就可以快速地查詢想要的資料了。
六、二分查詢之變形問題
1、查詢第一個值等於給定值的元素
比如下面這樣一個有序陣列，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等於 8，是重複的資料。我們希望查詢第一個等於 8 的資料，也就是下標是 5 的元素。
極致簡潔的寫法：
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
if (low < n && a[low]==value){ return low;}
else {return -1;}
}
易懂的寫法：
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)){ return mid;}
else {high = mid - 1;}
}
}
return -1;
}
2、查詢最後一個值等於給定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) {return mid;}
else {low = mid + 1;}
}
}
return -1;
}
3、查詢第一個大於等於給定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) {return mid;}
else {high = mid - 1;}
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
4、查詢最後一個小於等於給定值的元素
public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) {return mid;}
else {low = mid + 1;}
}
}
return -1;
}