[USACO19DEC]Greedy Pie Eaters
題目：Greedy Pie Eaters
網址：https://www.luogu.com.cn/problem/P5851
題目描述
\(Farmer John\)有\(M\)頭奶牛，為了方便，編號為\(1,\dots,M\)。這些奶牛平時都吃青草，但是喜歡偶爾換換口味。\(Farmer John\)一天烤了\(N\)個派請奶牛吃，這\(N\)個派編號為\(1,\dots,N\)。第\(i\)頭奶牛喜歡吃編號在\(\left[ l_i,r_i \right]\)中的派（包括兩端），並且沒有兩頭奶牛喜歡吃相同範圍的派。第\(i\)頭奶牛有一個體重\(w_i\)，這是一個在\(\left[ 1,10^6 \right]\)
\(Farmer John\)可以選擇一個奶牛序列 \(c_1,c_2,\dots,c_K\)，並讓這些奶牛按這個順序輪流吃派。不幸的是，這些奶牛不知道分享！當奶牛 吃派時，她會把她喜歡吃的派都吃掉——也就是說，她會吃掉編號在 \([l_{c_i},r_{c_i}]\)中所有剩餘的派。\(Farmer John\) 想要避免當輪到一頭奶牛吃派時，她所有喜歡的派在之前都被吃掉了這樣尷尬的情況。因此，他想讓你計算，要使奶牛按 \(c_1,c_2,\dots,c_K\)的順序吃派，輪到這頭奶牛時她喜歡的派至少剩餘一個的情況下，這些奶牛的最大可能體重（\(w_{c_1}+w_{c_2}+\ldots+w_{c_K}\)
輸入格式
第一行包含兩個正整數\(N,M\)；
接下來\(M\)行，每行三個正整數 \(w_i,l_i,r_i\)。
輸出格式
輸出對於一個合法的序列，最大可能的體重值。
輸入輸出樣例
輸入 #1
2 2
100 1 2
100 1 1
輸出 #1
200
說明/提示
樣例解釋
在這個樣例中，如果奶牛\(1\)先吃，那麼奶牛\(2\)就吃不到派了。然而，先讓奶牛\(2\)吃，然後奶牛\(1\)只吃編號為\(2\)的派，仍可以滿足條件。
對於全部資料，\(1 \le N \le 300,1 \le M \le \dfrac{N(N-1)}{2},1 \le l_i,r_i \le N,1 \le w_i \le 10^6\)
資料範圍
對於測試點\(2-5\)，滿足\(N \le 50,M \le 20\)；
對於測試點\(6−9\)，滿足\(N \le 50\)。
USACO 2019 December 鉑金組T1
這是USACO質量極其好得一道。
我們急需解決以下兩個問題：
- 選取問題，選哪幾個使得權重最大又合法；
- 順序問題，順序決定是否滿足題意。
對這兩個問題的理解是否深入將直接導致這道題的做法是否簡潔。
首先，我們考慮：若最終的答案中所選取的奶牛構成一個集合\(S\)，則\(S\)中一定有一中排列方式使得每頭牛都能分得“一杯羹“。
這是毋庸置疑的一點。
更近的，如果我們只要找到一種方法判定所選擇的奶牛是否全都有派，那麼我們僅需按照這個方法處理該問題。該問題得以簡化。
事實上，注意到，不妨考慮一種情況：若該奶牛所屬區間為\([l, r]\)，則若該區間中存在一個位置k沒有被覆蓋（選擇），那麼該區間就可以被接受。
也就是說，不管順序如何，只要保證至少有一個位置沒有被覆蓋，那麼該奶牛可以被選擇的。
我們把順序問題解決了。
在以上的基礎上，我們考慮使用DP；
設\(dp[l,r]\)表示區間\([l,r]\)的派最多能獲得多大的權重和。
顯然有\(dp[l,r]=max(dp[l,k]+dp[k+1,r])\)，這表示一個區間是由子區間拼湊出來的。
等等，有些情況我們並沒有包括其中，比如：
注意到，這種情況是因為兩個子區間並沒有“無縫銜接”，中間似乎貼了一段“區間”（這也符合我們剛剛討論過的順序問題），因此，DP方程還應有：\(dp[l,r]=max(dp[l,k-1]+f[l,r,k]+dp[k+1,r])\);
\(f\)指的是區間\([l,r]\)中包含第\(k\)個位置的所有奶牛權重最大的一隻奶牛的權重。預處理即可。
為什麼只預留了一個長度？為什麼對於中間的那一個區間就不能單獨覆蓋更多的位置。這又是一個貪心。前者更優。
C ++ AC程式碼
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int SIZE = 50000 + 10;
struct COW
{
int l, r, w;
} c[SIZE];
int n, m, pos[310][310];
int p[310][310][310], dp[310][310];//dp[i][j] 指的是區間 [i, j] 被吃完的最大體重值
//有方程: dp[i][j] = max(dp[i][k] + d[k][j], d[i][k - 1] + p[i][j][k], dp[k + 1][j]);
int main()
{
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(pos, 0, sizeof(pos));
for(int i = 0; i < m; ++ i)
{
scanf("%d %d %d", &c[i].w, &c[i].l, &c[i].r);
pos[c[i].l][c[i].r] = c[i].w;
}
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(p, 0, sizeof(p));
for(int len = 1; len <= n; ++ len)
{
for(int i = 1, j = i + len - 1; j <= n; ++ i, ++ j)
{
for(int k = i; k <= j; ++ k)
{
p[i][j][k] = pos[i][j];
p[i][j][k] = max(p[i][j][k], max((i < k) * p[i + 1][j][k], (k < j) * p[i][j - 1][k]));
}
}
}
for(int len = 1; len <= n; ++ len)
{
for(int i = 1, j = i + len - 1; j <= n; ++ i, ++ j)
{
int &ans = dp[i][j];
for(int k = i; k <= j; ++ k)
{
ans = max(ans, dp[i][k] + dp[k + 1][j]);
ans = max(ans, dp[i][k - 1] + p[i][j][k] + dp[k + 1][j]);
}
}
}
printf("%d\n", dp[1][n]);
return 0;
}
總結回顧
- 這道題從看起來好像需要排序滿足題意，到用DP解決完成，發生了題目的轉化。事實上，很多看起來費勁的題目，往往要發覺特性，將其化險為夷。
- 另外這道題的兩個轉移值得思索回味。