題目

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題解

這道題必須對樹的直徑的一些基本性質瞭解很多。

首先，有一種暴力思路，對於每一次加進倆點之後，跑一次 \(bfs\) 或者是樹 \(DP\) 求直徑，這樣時間複雜度是 \(\mathcal O(qn)\) 的，顯然有問題。

考慮換一種思路，有一種貪心地求樹直徑的方法：

從樹上任意一點 \(x\) 開始，找到離其最遠的點 \(u\)，再從 \(u\) 找離其最遠的點 \(v\)，那麼 \((u,v)\) 的路徑就是樹直徑；

證明網上可以找到

這句話反過來說，對於樹上任意一點來說，必有樹直徑的兩點中一點是離其最遠的。

考慮我們加進來倆點，無非就兩種情況：

1. 直徑沒有變化；
2. 直徑有變化；

情況一不用說，重點在情況二。

考慮如果直徑有變，無非就是改變了其中一個端點，為什麼？

假設我們在 \(u\) 下接了 \(v_1,v_2\)，找到原來的、距離 \(u\) 最遠的直徑端點之一 \(x\)，既然 \(x\) 距離 \(u\) 以及最遠，那麼距離 \(v_1,v_2\) 亦是同理，說明這個點仍然會是端點，唯一的問題就是另一個端點，也就是找到的距離 \(x\) 最遠的點發生改變，由於其他點無論是位置、深度還是父子關係夠沒有改變，唯一有變數的就是我們加進來的倆點 \(v_1,v_2\)，也就是說如果 \(v_1,v_2\) 使得直徑有變，那麼他們之一一定是直徑的某個端點。

那麼，思路很明確，由於我們不知道哪個端點是距離 \(u\)

至於距離計算的時間，可以考慮使用倍增 \(lca\)，時間複雜度在 \(\mathcal O(q\log n)\) 左右.

程式碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define rep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(signed i=(__l),i##_end_=(__r);i>=i##_end_;--i)
#define erep(i,u) for(signed i=tail[u],v=e[i].to;i;i=e[i].nxt,v=e[i].to)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned uint;
#define Endl putchar('\n')
// #define int long long
// #define int unsigned
// #define int unsigned long long

#define cg (c=getchar())
template<class T>inline void read(T& x){
    char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(f)x=-x;
}
template<class T>inline T read(const T sample){
    T x=0;char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return f?-x:x;
}
template<class T>void fwrit(const T x){//just short,int and long long
    if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
    if(x>9)fwrit(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x<y?y:x;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
    return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}

const int maxm=5e5;
const int maxsize=maxm*2+4;
const int logmax=19;

int f[maxsize+5][logmax+5];
int d[maxsize+5];

inline int getlca(int u,int v){
    if(d[u]<d[v])swap(u,v);
    fep(j,logmax,0)if(d[f[u][j]]>=d[v])u=f[u][j];
    if(u==v)return u;
    fep(j,logmax,0)if(f[u][j]^f[v][j])
        u=f[u][j],v=f[v][j];
    return f[u][0];
}

int m;

pair<int,pii>ans,upd;

int node=4;

inline void New(const int u,const int pre){
    f[u][0]=pre,d[u]=d[pre]+1;
    rep(j,1,logmax)f[u][j]=f[f[u][j-1]][j-1];
}

signed main(){
    m=read(1);
    ans=mp(2,mp(2,3));
    f[2][0]=f[3][0]=f[4][0]=1;
    d[1]=1,d[2]=d[3]=d[4]=2;
    int pre,lca1,lca2;
    while(m--){
        pre=read(1);
        rep(i,0,1){
            New(++node,pre);
            lca1=getlca(node,ans.sd.ft);
            lca2=getlca(node,ans.sd.sd);
            upd=mp(d[node]+d[ans.sd.ft]-2*d[lca1],mp(node,ans.sd.ft));
            upd=Max(upd,mp(d[node]+d[ans.sd.sd]-2*d[lca2],mp(node,ans.sd.sd)));
            ans=Max(ans,upd);
        }
        writc(ans.ft,'\n');
    }
    return 0;
}