旋轉矩陣是姿態的一種數學表達方式，或者籠統說變換矩陣是一種抽象的數學變數。其抽象在於當你看到資料，根本無法斷定其正確性；往往只有轉換為較為直觀的尤拉角，然後大概目測估算（總不能拿著量角器去測量精度吧）。

我們知道，姿態的數學形式有旋轉矩陣（滿足R^TR=E）、尤拉角、旋轉向量（角軸）、四元數（norm(x y z w) = 1）等。今天這裡要討論的是旋轉矩陣相關理論基礎。

旋轉矩陣常用於以下三種場景：

• 描述一個frame（座標系）相對於另一個frame間的位姿；(如：描述相鄰兩幀間的相機運動)
• 描述一個point從一個frame變換到另一個frame；（其實點沒動，只是在兩個frame觀測時，座標不一樣而已；如：；路標點點P在不同相機座標系下座標值不同，但在世界座標系下是固定的）
• 描述一個point在同一個frame中的運動；（這裡的點是運動了的，在VSLAM中應用較少）

繞三個軸的旋轉矩陣請按以下形式進行記憶，可能有些地方是下面的轉置形式。

（本部落格和大多數論文資料一樣，都是左乘原則）

一、固定旋轉（Fix Angles）

所謂固定旋轉，就是按照物體外部固定軸旋轉。這種旋轉在工程中很常見，用的相對多一些（相對於下面的尤拉旋轉），例如：旋轉次序為X-Y-Z，那麼旋轉矩陣的形式為：R_ZR_YR_X。如下圖，其實沒什麼好說。

已經旋轉矩陣，怎麼求解尤拉角呢？下圖便是一種比較好的求解辦法。我們知道，順時針旋轉180°和逆時針旋轉180°是等效的，所以求解出來的尤拉角其取值範圍最好是：

[0°，180°] or [0°，-180°]或者[-90°，90°]，這裡採用的後者。下圖中的atan2是matlab中的api，我們在這裡簡單驗證下其與tan的區別：可以看到，當一個點在第三象限，如（-1， -1），在尤拉角中，其角度為：-135°，但是atan(-1/-1)算出來是45°，顯然是錯的。

 1 >> atan(1) * 180 / pi
 2 
 3 ans =
 4 
 5     45
 6 
 7 >> atan2(1, 1) * 180 / pi
 8 
 9 ans =
10 
11     45
12
 
 
13 >> atan2(-1, -1) * 180 / pi
14 
15 ans =
16 
17   -135
18 
19 >> 

順在在這裡用Eigen驗證下：

二、尤拉旋轉

參考：

（臺大機器人學之運動學——林沛群）

https://www.bilibili.com/video/BV1v4411H7ez?p=3