Description

給定兩個互質的整數，問用這兩個整數的倍和無法表示的整數中的最大值是多少。

Solution

這題當年考場上就是找規律的，也一直沒有細究證明。答案當然是人盡皆知的 \(ab-a-b\)。

即要證明 \((p,q)=1\) 時使得 \(px+qy=n\) 無非負整數解的最大正整數為 \(pq-p-q\)。

首先證明 \(ab-a-b\) 不能被表示。

假設存在 \(x,y\) 使得 \(px+qy=pq-p-q\)，那麼 \(p(x+1)+q(y+1)=pq\)。

變形得到 \(p(q-x-1)=q(y+1)\)，於是有 \(p|q(y+1)\)，而 \((p,q)=1\)

設 \(y+1=pi,x+1=qj\)，則 \(pqi+pqj=pq\) 即 \(i+j=1\)，而 \(i \ge 1, j \ge 1\)，矛盾。

下面證明任意 \(ab-a-b+t, t\ge 1\) 都可以被表示為 \(ax+by\)。

設 \(au+bv=t\)，則其有特解 \(u_0 \ge 0, v_0 \in [-a+1,0]\)。

於是 \(ab-a-b+t=ab-a-b+au_0+bv_0=(u_0-1)a+(v_0+a-1)b\)，證畢。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int a, b;

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> a >> b;
    cout << a * b - a - b << endl;
}