Q：給定一個字串 S，計算 S 的不同非空子序列的個數。
因為結果可能很大，所以返回答案模 10^9 + 7.

示例 1：
輸入："abc"
輸出：7
解釋：7 個不同的子序列分別是 "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", 以及 "abc"。
示例 2：
輸入："aba"
輸出：6
解釋：6 個不同的子序列分別是 "a", "b", "ab", "ba", "aa" 以及 "aba"。
示例 3：
輸入："aaa"
輸出：3
解釋：3 個不同的子序列分別是 "a", "aa" 以及 "aaa"。

A：
雖然解決這題的程式碼很短，但它的演算法並不是很容易設計。我們會用動態規劃先求出包括空序列的所有子序列，再返回答案之前再減去空序列。
我們用 dp[k] 表示 S[0 .. k] 可以組成的不同子序列的數目。如果 S 中的所有字元都不相同，例如 S = "abcx"，那麼狀態轉移方程就是簡單的 dp[k] = dp[k-1] * 2，例如 dp[2] = 8，它包括 ("", "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", "abc") 這 8 個不同的子序列，而 dp[3] 在這些子序列的末尾增加 x，就可以得到額外的 8 個不同的子序列，即 ("x", "ax", "bx", "cx", "abx", "acx", "bcx", "abcx")，因此 dp[3] = 8 * 2 = 16。
但當 S 中有相同字母的時候，就要考慮重複計數的問題了，例如當 S = "abab" 時，我們有：

• dp[0] = 2，它包括 ("", "a")；
• dp[1] = 4，它包括 ("", "a", "b", "ab")；
• dp[2] = 7，它包括 ("", "a", "b", "aa", "ab", "ba", "aba")；
• dp[3] = 12，它包括 ("", "a", "b", "aa", "ab", "ba", "bb", "aab", "aba", "abb", "bab", "abab")。

當從 dp[2] 轉移到 dp[3] 時，我們只會在 dp[2] 中的 ("b", "aa", "ab", "ba", "aba") 的末尾增加 b，而忽略掉 ("", "a")，因為它們會得到重複的子序列。我們可以發現，這裡的 ("", "a") 剛好就是 dp[0]，也就是上一次增加 b 之前的子序列集合。因此我們就得到了如下的狀態轉移方程：
dp[k] = 2 * dp[k - 1] - dp[last[S[k]] - 1]
即在計算 dp[k] 時，首先會將 dp[k - 1] 對應的子序列的末尾新增 S[k] 得到額外的 dp[k - 1] 個子序列，並減去重複出現的子序列數目，這個數目即為上一次新增 S[k] 之前的子序列數目 dp[last[S[k]] - 1]。

    public int distinctSubseqII(String S) {
        int MOD = 1_000_000_007;
        int N = S.length();
        int[] dp = new int[N+1];
        dp[0] = 1;

        int[] last = new int[26];
        Arrays.fill(last, -1);

        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            int x = S.charAt(i) - 'a';
            dp[i+1] = dp[i] * 2 % MOD;
            if (last[x] >= 0)
                dp[i+1] -= dp[last[x]];
            dp[i+1] %= MOD;
            last[x] = i;
        }

        dp[N]--;
        if (dp[N] < 0) dp[N] += MOD;
        return dp[N];
    }