Prufer序列

構造與轉換

　　樹->序列 步驟:(是樹，而不是森林)

　　　　①、找到當前度數最小的點x（相同的取標號小的）

　　　　②、刪除x及其邊。將所有與x相鄰的點加入當前prufer序列後面。

　　不斷重復①、②直到圖中只有兩個點。

　　序列->樹 步驟：(保證樹原本序號為排列，設G={1..n})

　　　　①、找到G在Prufer序列中未出現的最小數x

　　　　②、x向Prufer序列首項y連邊，然後將x從G中刪除，將Prufer首項刪除(只刪一個)。

　　不斷重復①、②直到G中只有兩個點，連一條邊。

性質

　　設樹中每個點度數為$d_i$，那麽點i會在Prufer序列中出現$d_i-1$次。ps:$\sum d_i=2*n-2$

　　不同的Prufer序列對應不同的無根樹。(沒有出現的都按欽點的順序連邊，以保證標號不同)

　　不同的定義：樹形不同或標號不同。（不能經過旋轉拉伸變成一樣的樹）

例題

　　BZOJ1211：給出每個點的度數，求不同合法的樹個數。

　　根據上述構造方法：$Ans=(n-2)!*\prod \frac{1}{(d_i-1)!}$ 或者利用排列數計算

　　程序實現(排列計算)：

for(Ans=1,sum=0,i=1;i<=n;i++) 
     Ans*=A(n-2-sum,di-1),sum+=di-1;//A(x,y)=x!/(x-y)!

　　ps：該題需要判樹不存在的情況。

　　BZOJ1005：有些點度數未知，求不同合法的樹個數。

　　記Sum為已知度數的方案數，Sd為已知點的$\sum d_i -1$，m為未知的點數，$Ans=Sum*C(n-2,n-2-Sd)*m^{n-2-Sd}$

?　　大概需要一個高精度。T^T

　　BZOJ1430：自己看題吧。

　　$Ans=(n-1)!*n^{n-2}$ ps:$n^{n-2}$意味無根樹個數，$(n-1)!$即邊的出現順序。

　　註意long long...

總結

　　利用性質轉換為序列問題，然後組合數求解。

Prufer序列