遞推3--位數問題

一、心得

問題想清楚

註意邊界

二、題目及分析

三、代碼及結果

方法一：排列組合

  1 /*
  2 位數問題 ：
  3 在所有的n位數中，有多少個數中有偶數個數字3？
  4 
  5 方法一：
  6 排列組合
  7 n位數中有x個三的情況為：c(n,x)*9^(n-x) 
  8 還要減去首位為0的情況：c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
  9 故為： c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
 10 calc[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)
 11 dp[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x)
 
 12 dp[n][x]: n位數中有x個三的情況數目 
 13  
 14 
 15 方法二：
 16 遞推
 17  
 18  
 19 */ 
 20 
 21 /*
 22 算法優化後面再看，先把基礎功能實現 
 23 */
 24 #include <iostream>
 25 #define Max 10 
 26 using namespace std;
 27 int dp[Max];//n位數中有x個三的情況數目
 28  
 29 
 30 //求c(n,x)
 31 int  combination(int n,int x){
 32     /*
 33     c(5,3)=(5*4*3)/(3*2*1) 
 
 34     */
 35     int ans=1;
 36     if(n<x) return 0;
 37     else if(n==x) return 1;
 38     else{
 39         for(int i=n,j=1;j<=x;j++,i--){
 40             ans=ans*i/j;//這樣一定能除盡 
 41         }
 42     }
 43     return ans;
 44 }
 45 
 46 //計算c(n,x)*9^(n-x)  
 47 int calcTimes(int n,int x){
 48     int
 
 ans=combination(n,x);
 49     for(int i=1;i<=n-x;i++){
 50         ans*=9;
 51     }
 52     return ans;
 53 } 
 54 
 55 //dp操作，沒做初始化，因為全局變量都是0， 
 56 void dpOperation(int n){
 57     for(int i=0;i<=n;i++){
 58         if(n==1){//一位數的話，第一位可以是0 
 59             dp[i]=calcTimes(n,i);
 60         }
 61         else if(n>1){
 62             dp[i]=calcTimes(n,i)-calcTimes(n-1,i);
 63         }    
 64     }
 65     
 66 //    for(int i=1;i<=n;i++){//計算1-n位數的情況 
 67 //        for(int j=0;j<=i;j++){//計算i位數有j個3的情況 
 68 //            
 69 //        } 
 70 //    }
 71 } 
 72 
 73 //打印dp數組
 74 void print(int n){
 75     for(int i=0;i<=n;i++){
 76         cout<<n<<"位數中有"<<i<<"個3的數目："<<dp[i]<<" "<<endl;
 77     }
 78     cout<<endl;
 79 } 
 80 
 81 //計算偶數個3
 82 int even3(int n){
 83     int ans=0;
 84     for(int i=0;i<=n;i++){
 85         if(i%2==0){
 86             ans+=dp[i];
 87         }
 88     }
 89     return ans;
 90 } 
 91 
 92 
 93 int main(){
 94     int n=6;
 95     //int ans=combination(10,7);
 96     //int ans=calcTimes(2,2);
 97     //cout<<ans<<endl;
 98     dpOperation(n);//dp操作，沒做初始化，因為全局變量都是0，
 99     //cout<<calcTimes(n,0)<<" "<<calcTimes(n-1,0)<<endl;
100     print(n);//打印dp數組
101     int ans=even3(n);//計算偶數個3
102     cout<<n<<"位數中有偶數個3的數目："<<ans<<endl; 
103     return 0;
104 }

方法二、遞推

 1 /*
 2 位數問題 ：
 3 在所有的n位數中，有多少個數中有偶數個數字3？
 4 
 5 方法一：
 6 排列組合
 7 n位數中有x個三的情況為：c(n,x)*9^(n-x) 
 8 還要減去首位為0的情況：c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
 9 故為： c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
10 calc[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)
11 dp[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x)
12 dp[n][x]: n位數中有x個三的情況數目 
13  
14 
15 方法二：
16 遞推
17 這種題目一般都是從i-1位推導第i位，就是看第n位取不取3 
18 
19 f[i][0]表示前i位取偶數個3有幾種情況
20 f[i][1]表示前i位取奇數個3有幾種情況 
21 則狀態轉移方程為：
22 f[i][0]=f[i-1][0]*9+f[i-1][1] 
23 f[i][1]=f[i-1][1]*9+f[i-1][0] 
24 邊界條件：f[1][1]=1 f[1][0]=9
25 其實可以看做是取完最後一位取第一位，而0不能做第一位，所以到n的時候，是*8 
26  
27  
28 */ 
29 
30 /*
31 算法優化後面再看，先把基礎功能實現 
32 */
33 #include <iostream>
34 using namespace std;
35 int main(){
36     int n;
37     int f[1005][2]={0};
38     cin>>n;
39     f[1][1]=1; 
40     f[1][0]=9;
41     for(int i=2;i<=n;i++){
42         int x=f[1][0];
43         if(i==n) x--;//其實可以看做是取完最後一位取第一位，而0不能做第一位，所以到n的時候，是*8 
44         f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; 
45         f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; 
46     } 
47     cout<<f[n][0]<<endl;
48     return 0;
49 } 

遞推3--位數問題