列分割 sin ora one desc 進行 bsp main 序列

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一個分隔序列的遊戲。在這個遊戲裏，小H需要將一個長度為n的非負整數序列分割成k+1個非空的子序列。為了得到k+1個子序列，小H需要重復k次以下的步驟： 1.小H首先選擇一個長度超過1的序列（一開始小H只有一個長度為n的序列——也就是一開始得到的整個序列）； 2.選擇一個位置，並通過這個位置將這個序列分割成連續的兩個非空的新序列。 每次進行上述步驟之後，小H將會得到一定的分數。這個分數為兩個新序列中元素和的乘積。小H希望選擇一種最佳的分割方式，使得k輪之後，小H的總得分最大。

Input

輸入第一行包含兩個整數n，k（k+1≤n）。

第二行包含n個非負整數a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一開始小H得到的序列。

Output

輸出第一行包含一個整數，為小H可以得到的最大分數。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【樣例說明】

在樣例中，小H可以通過如下3輪操作得到108分：

1．-開始小H有一個序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H選擇在第1個數之後的位置

將序列分成兩部分，並得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．這一輪開始時小H有兩個序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H選擇在第3個數

字之後的位置將第二個序列分成兩部分，並得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．這一輪開始時小H有三個序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H選擇在第5個

數字之後的位置將第三個序列分成兩部分，並得到(4+0)×(2+3)=

20分。

經過上述三輪操作，小H將會得到四個子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)並總共得到52+36+20=108分。

【數據規模與評分】

：數據滿足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

題解:

首先通過手推可以發現,得到的價值和切割順序無關(小栗子:把序列切成3段①②③的話,(①+②)*③+①*②=①*(②+③)+②*③)

這樣的話本題就可以從左到右掃了.我們設f[i][j]為在j這個點切i次最大價值,s[i]為前綴和

對於某一個切割點j,考慮上一個切割點k,有f[i][j]=max{f[i-1][k]+s[k]*(s[j]-s[k]),k∈[1,j)}

這個方程又對應著一個簡單的O(N²K)暴力

1 for(int i=1;i<=k+1;i++)
2 {
3     for(int j=1;j<=n;j++)
4         for(int u=0;u<j;u++)
 
5             f[j]=max(f[j],g[u]+(s[j]-s[u])*s[u]);
6     for(int j=0;j<=n;j++)
7         swap(f[j],g[j]);
8 }
9 printf("%lld",f[n]);

一個簡單的暴力

但考慮到數據範圍,這樣的暴力無疑會T,因此考慮優化.

首先,無論哪種打法都要開滾動數組,不然會內存爆炸.設滾動數組為g[i]

對於兩個決策點k₁<k₂,如果k₂優於k₁

則g[k₁]+s[k₁]*(s[j]-s[k₁])<g[k₂]+s[k₂]*(s[j]-s[k₂])

g[k₁]-g[k₂]<s[k₂]*(s[j]-s[k₂])-s[k₁]*(s[j]-s[k₁])

g[k₁]-g[k₂]<s[k₂]*s[j]-s[k₁]*s[j]+s[k₁]²-s[k₂]²

g[k₁]-g[k₂]+s[k₂]²-s[k₁]²<s[j]*(s[k₂]-s[k₁])

(g[k₁]-g[k₂]+s[k₂]²-s[k₁]²)/(s[k₂]-s[k₁])<s[j]

這樣我們又得到了一個可愛的斜率式子

那麽我們利用這個式子計算就好了~

代碼見下:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int N=100010;
 6 const int K=210;
 7 int n,k,q[N],a[N],now=1,pre=0;
 8 LL f[2][N],s[N];
 9 inline double l(int k1,int k2){return 1.0*(f[pre][k1]-f[pre][k2]+s[k2]*s[k2]-s[k1]*s[k1])/(s[k2]-s[k1]);}
10 int main()
11 {
12     scanf("%d%d",&n,&k);int tmp=0;
13     for(int i=1;i<=n;i++)
14         scanf("%lld",&a[i]);
15     for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i])a[++tmp]=a[i];;
16     n=tmp;
17     for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=a[i]+s[i-1];
18     for(int i=1,h=1,t=0;i<=k;i++,h=1,t=0)
19     {
20         memset(q,0,sizeof(q));
21         for(int j=i;j<=n;j++)
22         {
23             while(h<t&&l(q[t-1],q[t])>l(q[t],j-1))t--;
24             q[++t]=j-1;
25             while(h<t&&l(q[h],q[h+1])<s[j])h++;
26             f[now][j]=f[pre][q[h]]+(s[j]-s[q[h]])*s[q[h]];
27         }
28         pre^=1,now^=1;
29     }
30     printf("%lld",f[pre][n]);
31 }

BZOJ3675

[BZOJ3675]序列分割