DFT(Discrete Fourier Transform)：離散傅立葉變換

直觀的計算DFT算法復雜度為O(N*N)。

FFT(Fast Fourier Transformation)：快速傅立葉變換，DFT的快速算法。凡將DFT算法復雜度降至O(N*logN)的算法，均可稱為FFT。

最常用的FFT為奇偶分治法，要求輸入點個數N為2的冪。下文中均假設N為2的冪。

N個點的DFT處理器定義：

N個點的DFT處理器有N個輸入和N個輸出，輸入N個點的值，輸出各點的變換結果值。

（註意左邊x為小寫，右邊X為大寫）

黑箱內邏輯為：

其中為N次單位根。

根據N個點的DFT處理器的定義，可以推得N/2個點的DFT處理器的定義。

N/2個點的DFT處理器定義：

N/2個點的DFT處理器有N/2個輸入和N/2個輸出，輸入N/2個點的值，輸出各點的變換結果值。

黑箱內邏輯為：

考慮下面問題：

問題一：將N/2個偶點x[0],x[2],x[4],...,x[N-2]輸入N/2個點的DFT處理器，設輸出為G[0]，G[1],...,G[N/2-1]，那麽G[k](k=1~N/2-1)等於多少？

解：根據N/2個點的DFT處理器定義，得：

問題二：將N/2個奇點x[1],x[3],x[5],...,x[N-1]輸入N/2個點的DFT處理器，設輸出為H[0],H[1],...,H[N/2-1]，那麽H[k](k=1~N/2-1)等於多少？

解：根據N/2個點的DFT處理器定義，得

考慮下面問題：

假設我現在想計算N個點x[0]~x[N-1]的DFT的結果X[0]~X[N-1]，但是湊巧學前班沒畢業不會算數兒，所以只能借助一個現成的N個點的DFT處理器來完成計算，但湊巧手頭沒有N個點的DFT處理器，卻湊巧有兩個N/2個點的DFT處理器，那麽我還能不能完成計算呢？

解：

能完成計算，可以用兩個N/2個點的DFT處理器DIY一個N個點的DFT處理器，然後用這個DIY的DFT處理器完成計算。

那麽，如何DIY呢？

首先證明恒等式：

然後據此恒等式連電路，連好結果如下：

由此可見，可以用兩個N/2個點的DFT處理器組裝成N個點的DFT處理器。重復這一思想，那兩個N/2個點的DFT處理器每個都可以由兩個N/4個點的DFT處理器組成，由於N為2的冪，所以此過程可反復進行，直到分解為1個點的DFT處理器為止。

此即基於奇偶分治的FFT算法。

算法復雜度分析：（待續）

參考：

https://www.youtube.com/watch?v=EsJGuI7e_ZQ

https://www.youtube.com/watch?v=1mVbZLHLaf0

理順FFT