n個整數中1出現的次數
整數中1出現的次數(從1到n整數中1出現的次數) (兩種方法:1、規律。2暴力求解)
題目描述
求出1 ~ 13的整數中1出現的次數,並算出100 ~ 1300的整數中1出現的次數?為此他特別數了一下1 ~ 13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數。
規律( 1 的數目)
如果第 i 位(自右向左,從1開始標號)上的數字是0,則第 i 位可能出現 1 的次數由更高位決定(若沒有高位,則視高位為0),等於更高位數乘以當前位數的權重(10i-1)
如果第 i 位上的數字為 1,則第 i 位上出現 1 的次數不僅受更高位影響,還受低位影響(若沒有低位,視低位為0),等於更高位數乘以當前位數的權重 (10i-1
如果第 i 位上的數字大於 1,則第 i 位上可能出現 1 的次數僅由更高位決定(若沒有高位,視高位為0),等於(更高位數 + 1)乘以當前位數的權重 (10i-1)
規律(x 的數目)
這裏的 x 屬於[1, 9], 因為 x = 0 不符合下列規律,需要單獨計算
首先要知道以下規律
- 從 1 至 10,在它們的個位數中,任意的 x 都出現了 1 次
- 從 1 至 100,在它們的十位數中,任意的 x 都出現了 10 次
- 從1至1000,在它們的百位數中,任意的x都出現了100次
- 依次類推,從 1 至 10i,在它們的左數第二位(右數第 i 位),任意的 x 都出現了 (10i-1)次。這個規律很容易驗證,這裏不再多做說明
接下以 n = 2593, x = 5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593中,數字 5 總計出現了 813 次,其中有 259次出現在個位,260次出現在十位,294次出現在百位,0次出現在千位
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現在依次分析這些數據,首先是個位。從 1 至 2590 中,包含了 259 個 10,因此任意的 x 都出現了 259 次。最後剩余的三個數 2531,2592,2593,因為它們最大的個位數字 3 < x。因此不會包含任何 5. (也可以這麽看, 3 < x, 則個位上可能出現的 x 的位數由更高位決定,等於更高位數字 (259) * 101-1 = 259)。
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然後是十位。從 1 至 2500中,包含了25個100,因此任意的 x 都出現了 25 * 10 = 250 次。剩下的數字從 2501 至 2593,它們最大的十位數是 9 > x,因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。(也可以這麽看,9 > x,則十位上可能出現的 x 的位數由更高位決定,等於更高位數字(25 + 1) * 102-1
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接下來是百位。從1至2000中,包含了2個1000,因此任意x都出現了2 * 100 = 200次。剩下的數字從2001至2593,它們最大的百位數字5 == x,這時候情況就略微復雜,它們的百位肯定是包含5的,但是不會包含全部100個。如果把百位是5的列出來,是從2500至2593,數字的個數與十位和個位數字有關,是93 + 1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。(也可以這麽看, 5 == x,則百位上可能出現的x次數不僅受跟高位影響,還受低位影響,等於更高位數字 2 * 103-1 + (93 + 1))
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最後是千位,現在已經沒有更高位,因此直接看最大的千位數字 2 < x,因此不會包含任何 5 。(也可以這麽看,2 < x,則千位上可能出現的x的次數僅由更高位決定,等於更高位數字 0 * 104-1 = 0)
到此為止,已經計算出全部數字 5 的出現次數。
總結
總結一下以上的算法,可以看到,當計算右數第 i 位包含的 x 的個數時:
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取第 i位左邊(高位)的數字,乘以 10i-1,得到基礎值 a
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取第 i 位數字,計算修正值
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如果大於 x , 則結果為 a + 10i-1
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如果小於 x,則結果為 a
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如果等於 x,則取第 i 位右邊(低位)數字,設為 b,最後結果為 a + b + 1
代碼
#include <iostream> using namespace std; int oneNum(int n) { int cur=n%10;//當前位 int high=n/10;//相對於當前位的高位部分 int low=0;//低位部分 int count=0;//計數 int base=1;//基 while(n/base) { if(cur==0)//題目中要求找1 故小於1的只有0 { count+=high*base;//高位部分乘以基(見上文的算法總結和規律) } else if(cur==1) { count+=high*base+low+1; } else{ count+=(high+1)*base; } base*=10; cur=high%10; high=n/(base*10); low=n%base; } return count; } int main() { int n; while(cin>>n) { cout<<oneNum(n)<<endl; } return 0; }
由分析思路或者代碼都可以看出,while循環的次數就是n的位數,logn(以10為底),而循環體內執行的操作都是有限次的,所以時間復雜度為O(logn)。
暴力求解:
方法:對1到n中的每一個數,分別判斷其中1的個數。
復雜度:O(n*logn)
int oneNum_b(int n) { assert(n>=0); int count=0; int curNum=1; for(int i=1;i<=n;i++) { curNum=i; while(curNum) { if(curNum%10==1) count++; curNum/=10; } } return count; }
n個整數中1出現的次數