||x|| 是什麽意思？

表示範數，這是空間的一個性質，大體至關於一般意義上到原點距離的意思，但有更為廣泛普遍的界說：
假設V是域F上的向量空間；V的範數是一個函數p：V→R；x→p(x)，滿足：?a∈F,?u,v∈V,
1.p(v)≥0(正值性)
2.p(a v)=|a|p(v),(正值齊次性)
3.p(u+v)≤p(u)+p(v)(三角不等式)
4.p(v)是零向量,當且僅當v是零向量(正定性)
如果沒有第4條叫做半範數.
範數是研究空間、向量的一種非常有用的東西.	 一般是指歐式範數
x=(x1,x2,x3,.,xn)
||x||=根號(x1*x1+.+xn*xn)

超平面

什麽是超平面

我們最常見的平面概念是在三維空間中定義的:

• 方程是線性的: 是空間點的各分量的線性組合
• 方程數量為1

若拋卻維度等於3的限制, 就得到了超平面的定義. 方程數量為1, 它的本質其實是自由度比空間維度dd小一. 自由度的概念可以簡單的理解為至少要給定多少個分量的值才能確定一個點. 例如, 三維空間裏的(超)平面只要給定了(x,y,z)(x,y,z)中任意兩個分量, 剩下的一個的值就確定了. 先確定值的兩個分量是自由的, 因為它們想取什麽值就能取什麽值;剩下的那個是"不自由的", 因為它的值已經由另外兩確定了. 二維空間裏的超平面為一條直線. 一維空間裏超平面為數軸上的一個點.
現在用數學語言定義一下.

點到超平面的距離

假設點x′x′為超平面A:wTx+b=0A:wTx+b=0上的任意一點, 則點xx到AA的距離為x?x′x?x′在超平面法向量ww上的投影長度:

超平面的正面與反面

一個超平面可以將它所在的空間分為兩半, 它的法向量指向的那一半對應的一面是它的正面, 另一面則是它的反面.

判斷一個點是在超平面的正面還是反面(面向的空間裏)

還是要用到它的法向量ww.
仍然假設點x′x′為超平面A:wTx+b=0A:wTx+b=0上的任意一點, 點xx為待判斷的點.
若x?x′x?x′與ww的夾角小於90°90°, 則xx在AA的正面, 否則在反面

超平面