一、仿射空間

（1）直線——1維仿射空間

給定n維的空間中，一條直線是方向向量v以及直線上的一點P決定。如下圖所示：

圖1：line figure illustration

因此直線方程如下所示，其中i表示直線上任一點，t表示標量。

                                                                                                          i=t*v+P

注意，始終的i，v，p均為n維空間的點，即n維空間向量。

 （2）平面——2維仿射空間

給定n維空間，空間中的一個平面是由空間上的一點P

圖2：plane figure illustration

因此平面方程如下式所示，其中i表示平面中的任意一點，s,t表示標量：

                                                        i=t*v+s*w+P

(3) k維仿射空間

由（1），（2）中推廣，給定的n維空間中，k維仿射空間由空間中的一點P和k個線性無關的向量v1,v2,v3,...,vk決定,

k維仿射空間的方程如下所示，其中i表示k維仿射空間中的任意一點，t1,t2,..,tk表示標量：

                                  i=t1*v1+t2*v2+...+tk*vk+P

因此，可以看到，空間中的一條直線是一個1維仿射空間，一個平面是一個2維仿射空間。

二 超平面

（1）二維空間中的超平面

假設二維空間中的點集i=(x2,x2),滿足下式,其中a,b,c為標量，且a,b不同時為0：

                                                 ax1+bx2+c=0

令t=x1,則點集i可以表示為：

                                  i=(x1,x2)=(t,-at/b-c/b)=t(1,-a/b)+(0,-c/b)

由上式可知道，這表示的是方向向量為（1，-a/b),並經過（0，-c/b)的直線。

記向量n=(a,b),則

                                                         n*i+c=0

記直線上另一點為P=(p1,p2),則

n*(i-P)=0

可以看出，n是直線的法向量。

在給定的N維空間中，超平面由空間中的一點P和一個向量n決定，超平面方程如下:

                                                         n*(i-P)=0

其中i表示超平面上的任意一點。

i,n,p均為N維向量。n為超平面的法向量。若i=(i1,i2,..,iN),n=(n1,n2,..,nN),p=(p1,p2,..pN),則超平面方程可以表示成：

                             n1*i1+n2*i2+...nN*iN+d=0

其中

                                        d=-n*P

按照上述定義，二維空間的超平面是一條直線，三維空間的超平面是一個平面，而N維空間的超平面則是N-1維的仿射空間。

Rn

超平面將空間分成兩部分，一部分大於0，一部分小於0。

空間中任意一點到超平面的距離計算：

記n是超平面的法向量，P是超平面上的一點，而Q是超平面外的一點，計算Q到超平面的距離：

                         d=|(Q-P)*n|/|n|

                          =|(n*Q+d)|/|n|