題目描述

HH有個一成不變的習慣，喜歡飯後百步走。所謂百步走，就是散步，就是在一定的時間 內，走過一定的距離。 但是同時HH又是個喜歡變化的人，所以他不會立刻沿著剛剛走來的路走回。 又因為HH是個喜歡變化的人，所以他每天走過的路徑都不完全一樣，他想知道他究竟有多 少種散步的方法。 現在給你學校的地圖（假設每條路的長度都是一樣的都是1），問長度為t，從給定地 點A走到給定地點B共有多少條符合條件的路徑

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題解

    考試的時候想得比較粗略，一開始當然是暴力深搜，也知道這種方案數還取模的題不可能深搜出正解，但還是先打了一通，沒費什麽力氣就出了樣例。之後開始想正解，感覺或許應該把環收縮一下，但是環環相扣環環重疊不知道應該怎麽處理，最後還是把深搜交上去了。
    正解是矩陣優化dp(但總感覺它其實說不上是dp)，比如矩陣G[i,j]的k次方中的g(a,b)可以表示從a點到b點經過k條邊的方案數，本題因為對於邊有特殊的要求(不立刻反向)所以把邊放進矩陣，G[i,j]為1表示從i到j有一條邊，這裏的邊是分方向的，雙向建邊就會有2*m條。tot矩陣(其實只有一行)表示從起點有哪些邊出來。tot乘上G[i,j]的k-1次方(註意順序，矩陣乘法不滿足交換律)，把得到的一行結果矩陣中有邊到終點的位加和，得到的結果即為答案。
    剛開始覺得矩陣非常抽象，雖然自己在課下學過很多數學書上的理論知識但還是不會用，不過這道題讓我明白矩陣也是有明確含義的(加速矩陣除外)，本質上還是要理解算法每一步的目的。
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,t,a,b,temp;
const int md=45989;
int dis[125][125]={0},tot[2][125]={0},ans[125][125]={0};
inline int r()
{
    int jg=0,jk=0;
    jk=getchar()-‘0‘;
    if(jk>=0&&jk<=9)  jg+=jk;
    jk=getchar()-‘
 
0‘;
    while(jk>=0&&jk<=9)
    {
       jg*=10;
       jg+=jk;
       jk=getchar()-‘0‘;
    }
    return jg;
}
int h[25],e;
struct B
{
     int u,v,ne;
}bi[125];
void add(int x,int y)
{
     bi[e].u=x;
     bi[e].v=y;
     bi[e].ne=h[x];
     h[x]=e++;
}
int jg[125][125];
void jc(int cs1[][125],int cs2[][125])
{
     memset(jg,0,sizeof(jg));
     for(int i=0;i<temp;i++)
       for(int j=0;j<temp;j++)
         for(int k=0;k<temp;k++)
           jg[i][j]+=(cs1[i][k]*cs2[k][j])%md;
     for(int i=0;i<temp;i++)
       for(int j=0;j<temp;j++)
         cs1[i][j]=jg[i][j]%md;
}
void init()
{
     n=r();
     m=r();
     t=r();
     a=r();
     b=r();
     temp=2*m;
     memset(h,-1,sizeof(h));
     int a1,a2;
     for(int i=0;i<m;i++)
     {
        a1=r();
        a2=r();
        add(a1,a2);
        add(a2,a1);
     }
     for(int i=0;i<n;i++)
      for(int j=h[i];j!=-1;j=bi[j].ne)
        for(int k=h[bi[j].v];k!=-1;k=bi[k].ne)
        {
          if(((k&1)&&k==j+1)||((j&1)&&j==k+1))
            continue;
          dis[j][k]=1;
        }
     for(int i=h[a];i!=-1;i=bi[i].ne)
          tot[0][i]=1;
}
int main()
{
    init();
    for(int i=0;i<temp;i++)
      ans[i][i]=1;
    t--;
    while(t)
    {
       if(t&1) jc(ans,dis);
       t>>=1;
       jc(dis,dis);
    }
    jc(tot,ans);
    int res=0;
    for(int i=h[b];i!=-1;i=bi[i].ne)
    {
      if(i&1)
        res+=tot[0][i-1];
      else
        res+=tot[0][i+1];
    }
    printf("%d",res%md);
    return 0;
}

HH去散步[SDOI2009]