題目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技術) 領域的知名專家，他的兒子名叫 Hankson。現在，剛剛放學回家的 Hankson 正在思考一個有趣的問題。

今天在課堂上，老師講解了如何求兩個正整數 c1 和 c2 的最大公約數和最小公倍數。現在 Hankson 認為自己已經熟練地掌握了這些知識，他開始思考一個“求公約數”和“求公倍數”之類問題的“逆問題”，這個問題是這樣的：已知正整數 a0,a1,b0,b1，設某未知正整數 x 滿足：

1． x 和 a0 的最大公約數是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍數是 b1。

Hankson 的“逆問題”就是求出滿足條件的正整數 x。但稍加思索之後，他發現這樣的x 並不唯一，甚至可能不存在。因此他轉而開始考慮如何求解滿足條件的 x 的個數。請你幫助他編程求解這個問題。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行為一個正整數 n，表示有 n 組輸入數據。接下來的 n 行每行一組輸入數據，為四個正整數 a0，a1，b0，b1，每兩個整數之間用一個空格隔開。輸入數據保證 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

輸出格式：

輸出文件 son.out 共 n 行。每組輸入數據的輸出結果占一行，為一個整數。

對於每組數據：若不存在這樣的 x，請輸出 0；

若存在這樣的 x，請輸出滿足條件的 x 的個數；

輸入輸出樣例

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

6 
2

說明

【說明】

第一組輸入數據，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 個。

第二組輸入數據，x 可以是 48、1776，共有 2 個。

【數據範圍】

對於 50%的數據，保證有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

對於 100%的數據，保證有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高組 第二題

題解：

關於a,b兩個數的最小公倍數的計算公式:

gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b;(註意這兒最好先除後乘，防止過程溢出)。

剩下的就是暴力枚舉了。

首先我們要確定x的範圍，x肯定比lcm(x,b0)小,也就是比b1小，一定比(b1/b0)大。

有了這個範圍我們就可以暴力枚舉了(但卻會超時3個點)：

#include<iostream>
#include
 
<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}    
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
    int ans=0;
    scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
    int mn=b1/b0;
    int mx=floor(sqrt((double)b1));
    for(int i=mn;i<=b1;i+=mn)
    {
        int x=gcd(i,a0);
        if(x!=a1) continue;
        int y=gcd(i,b0);
        if((i/y*b0)!=b1) continue;
        ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
   } 
}
    

用加法來枚舉肯定是會超時的。

我們可以只枚舉b1的因數,如果x是b1的因數的話,那麽另一個因數就是b1/x;

這樣的話就可以從1枚舉到b1的平方根,這樣枚舉量就大大減少了。

註意有種特殊情況：

假如最小公倍數是100；

當枚舉到10時，那麽另一個因數是100/10=10；

這樣的話10被算了兩次，所以要特判兩個因數是否相同。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}    
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
    int ans=0;
    scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
    int mx=floor(sqrt((double)b1));
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        if(!(b1%i))
        {
            int x,y,k;
            k=b1/i;
            x=gcd(i,a0); y=gcd(i,b0);
            if(x==a1&&(i/y*b0)==b1) ans++;
            x=gcd(k,a0); y=gcd(k,b0);
            if(x==a1&&(k/y*b0==b1)&&(b1/i)!=i) ans++;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

NOIp2009 Hankson 的趣味題