數學筆記7——曲線構圖
曲線構圖的目標是根據f’(x)和f’’ (x)畫出原函數f(x)的圖像。
原函數:f(x) = 3x-x3
f’(x) = 3-3x2
f’’(x) = -6x
函數的凹凸性
前提是:設f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內具有一階和二階導數。
如果函數f’(x) > 0,則f(x)在(a,b)內是遞增的;如果f’(x) < 0,則f(x)在(a,b)內是遞減的。這很好理解,f’(x)是f(x)在x點切線的斜率,只有函數遞增時,切線的斜率才能大於0。
如果f’’(x) > 0,則f’遞增;如果f’’(x) < 0,則f’遞減。這相當於上一條結論的擴展,因為f’’是f’的導函數。
凹凸性:
(1)若在(a,b)內f’’(x) < 0,則f(x)在(a,b)上的圖形是凹的,f’遞減,即f的切線斜率遞減;
(2)若在(a,b)內f’’(x) > 0,則f(x)在(a,b)上的圖形是凸的,f’遞增,即f的切線斜率遞增。
上圖中y=ex的二階導數y’’=ex > 0,y=ex是凸的;y=lnx的二階導數y’’=-1/x2<0,y=lnx是凹的。
奇怪的是,國內外的教材對凸凹的定義是不一樣的。同濟大學的教材中,f’’大於0,函數為凹,f’’小於0,函數為凸,跟上面的定義正好相反。在一些微積分教材中,有將凸稱為上凸,凹成為下凸;還有反著叫的……越來越亂了。
極值點和駐點
原函數f(x) = 3x-x3
f’(x) = 3 - 3x2 = 3(1-x2)
由此可以畫出f(x)的簡圖:
(-1, -2)和(1, 2)是兩個重要的點,經過這兩個點後,f’的符號改變,f的遞增遞減發生變化,在這兩個點上,f’(x)=0,這兩個點稱為函數的極值點。需要註意的是,極值點不是最值點,僅僅決定了導數的符號改變。
當f’(x0) = 0時,稱x0為駐點,f(x0)為駐點值。原函數f(x)=3x-x3有±1兩個駐點,對應的駐點值為±2。顯然,極值點一定是駐點,但駐點不一定是極值點,因為駐點兩側的導數符號可能相同。如下圖所示,y=x3的駐點x0=0,駐點兩側的導數符號相同,函數的增減性未發生變化:
拐點
此時,我們已經得到原函數f(x)=3x-x3的兩個極值點(1,2)(-1,-2),再將x=0代入,得到第三個點(0,0)。
由於極值點確定了函數增減的改變,又知道f(x)=3x-x3是一個曲線,所以經過極值點的一定是一段弧線,f(x)的簡圖:
由此可知f’’(x0)=0是原曲線的凹凸分界點,稱x0為f(x)的拐點。
有了拐點信息後就可以知道曲線凹凸性,即切線的變化率。
無限遠端
還有一點無法在有限的二維平面內展現,就是曲線的無限遠端,但這並不妨礙我們對其探索。
由此可知曲線的兩端向±∞方向無限延伸。
可以根據上述信息構圖:
雙曲函數構圖
下面是如何對雙曲線f(x) = (x+1)/(x+2)構圖。
雙曲線函數有點特性了,在x=-2處沒有定義,所以該函數是在x=-2處斷開的。可以得到下面四個極限:
根據上面的極限可確定曲線的四個端點,它們都是無限遠端,可以畫出如下草圖:
有點醜陋了,這不是我畫的最漂亮的圖。
接下來補充中間缺失的部分,如何確定中間是平滑的?會不會出現波浪形?這些信息需要由駐點確定。
f’(x)=1/(x+2)2, x≠-2
由於f’(x) > 0,所有f(x)在-2的兩側都是遞增的;由於f’(x) ≠0,所以f’(x)沒有駐點,函數在-2的兩側的增減性不會發生改變。
f’’(x) = -2/(x+2)3, x≠-2
f’’(x) > 0, -∞ < x < -2, 函數是凸的
f’’(x) < 0, -2 < x < +∞, 函數是凹的
f’’(x) ≠ 0, 函數沒有拐點
二階導數確定了曲線的弧度方向。
至此可以構圖:
構圖的一般步驟
構圖的一般步驟:
- 描點,找出函數中奇點,即函數未定義的點
- 標出無限遠端
- 標出駐點,即f’(x)=0的點;判斷f’(x)在每個駐點或不連續點為端點的區間內的符號,由此判斷函數的遞增和遞減性
- 觀察二階導數f’’的正負性,以便判斷f(x)的凹凸,f’’(x)=0是拐點
- 組合1~4構圖
示例
f(x) = x/lnx
按照上節的步驟構圖。
1.找出奇點
當x=1是,lnx=0,f(x)無意義,奇點是x=1;由於使用了對數lnx,隱含的條件是x>0,所以可以得到下面兩個極限:
此外,還可以知道f(0) = 0
2.標出無限遠端
由於x的定義域是(0, +∞)且x≠1,所以x只能從正向趨近於0;由於lnx是x的高階無窮小,所以第二個極限是+∞。目前的草圖:
幾乎可以斷定剩余的部分的樣子。
3.找出駐點,判斷函數的遞增和遞減
f’(x) = 0,則x=e,f(e) = e/lne = e,僅有一個駐點
f’(x) < 0, 0 < x<1, 1< x < e,函數遞減;
f’(x) > 0, e < x,函數遞增
代入一些簡單值作為修飾後就可以作圖了,可以省略求二階導數,圖像不會差太多。本例還是繼續計算二階導數。
4.觀察二階導數f’’的正負性,以便判斷f(x)的凹凸
f’’(x) < 0, 0 < x <1, 函數是凹的
f’’(x) > 0, 1 < x < e2, 函數是凸的
f’’(x) < 0, e2 < x, 函數是凹的
f’’(x) = 0, x = e2, 拐點是e2
至此,可以構圖了:
構圖結果
真實圖像
總結
- 若在(a,b)內f’’(x) < 0,則f(x)在(a,b)上的圖形是凹的,f’遞減
- 若在(a,b)內f’’(x) > 0,則f(x)在(a,b)上的圖形是凸的,f’遞增
- 極值點,經過極值點後f’(x)的符號改變
- 駐點f’(x0)=0,x0是駐點,f(x0)是駐點值
- 拐點,經過拐點後,函數的凹凸性發生改變
- 利用構圖的一般步驟為雙曲線構圖
作者:我是8位的
出處:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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數學筆記7——曲線構圖