數學上來先打表 SRM 10

描述

給出 n個點(不同點之間有區別)，求出滿足下列條件的連邊（雙向邊）方案：
1.每條邊連接兩個不同的點，每兩個點之間至多有一條邊
2.不存在三個點a,b,c使三個點間兩兩可以互相到達且兩兩之間最短距離相等
3.邊的長度均為1

輸入格式

一行，一個整數n

輸出格式

一行，一個整數，表示方案數對1004535809取模的結果。

樣例輸入

3

樣例輸出

7

數據範圍與約定

對於8組數據，1<=n<=9
對於余下8組數據，10<=n<=2000

樣例解釋

三個點之間沒有邊，有1種方案
三個點之間有一條邊，有3種方案
三個點之間有兩條邊，有3種方案

—————————————————————

這道題觀察可得這n個數組成的不是環就是鏈

是環還必須大於3且不能是3的倍數

我們任然可以先預處理出各個階乘的逆元

T是2關於mod的逆元 這個根據費馬小定理可以算出來

f【i】表示大小為i的聯通塊的個數

如果是鏈 方案數是 i！/2 這個時候T作為2的逆元就顯示出作用辣

至於為什麽是i！/2 因為各個點不同我們可以看作是排列而一個排列對應一個方案，一個方案被算兩次

如果是環 就是（i-1 ）！/2 因為是環我們可以欽定一個數作為起點 剩下i-1個數來排列

當然只有1不符合上述推斷 所以要單獨考慮

這樣處理完之後我們就可以來算答案ans辣

ans【k】=sigma（1-k） f【i】*g【k-i】*C（i-1，j-1）；

也就是我們選i個數作為聯通快其余隨意的總和

至於為什麽是C（i-1，j-1）

因為如果固定一個點統計，g就可以每個圖只算一次

這樣才能保證每個合法方案中只有一個連通塊被算到，且只算了一次

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int M=2007,mod=1004535809;
LL read(){
    LL ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘
 
9‘){if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){ans=ans*10+(c-‘0‘); c=getchar();}
    return ans*f;
}
int n;
LL T,w[M],b[M],f[M],ans[M];
LL qmod(LL a,LL b,LL c){
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%c;
        b=b/2;
        a=a*a%c;
    }
    return ans;
}
void prepare(){
    int mx=2000; w[0]=1;
    for(int i=1;i<=mx;i++) w[i]=w[i-1]*i%mod;
    b[mx]=qmod(w[mx],mod-2,mod); 
    for(int i=mx;i>=1;i--) b[i-1]=b[i]*i%mod;
    T=qmod(2,mod-2,mod);
}
LL C(int n,int m){return w[n]*b[m]%mod*b[n-m]%mod;} 
int main()
{
    n=read();
    prepare();
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i]=w[i]*T%mod;
        if(i>3&&i%3) f[i]=(f[i]+w[i-1]*T)%mod;
    }
    ans[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            ans[i]=(ans[i]+f[j]*ans[i-j]%mod*C(i-1,j-1)%mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans[n]);
    return 0;
}

汕頭市隊賽 SRM10 T3 數學上來先打表